🔺 三角形
从基本定义到特殊三角形,再到坐标系中的应用和旋转模型——初中几何的核心。
📑 本章目录(全 9 章)
📖学习指南
打开手册先读这一段 — 用一篇导读把三角形学习的大局观、4 大核心心法、4 阶段备考节奏串起来,知道这本书怎么用、按什么顺序学。
📖 学习指南:三角形学习的核心心法(开篇导读)
三角形是初中几何的"原子" — 所有多边形都能拆成三角形($n$ 边形 $=$ $n-2$ 个三角形),圆里的弦 / 弧 / 切线计算最终都靠三角形,函数图象 / 坐标系 / 动点 / 旋转 — 中考压轴几何 99% 是三角形题。把三角形吃透 $=$ 中考几何拿下大半。
🗺️ 全册逻辑链(9 章地图)
① 三角形的"身份证"(第 1-3 章):学三角形是什么 + 三大类三角形(等腰 / 等边 / 直角)的特殊性质
② 三角形的"工具箱"(第 4-5 章):全等 + 相似 — 后面所有题型的"扳手",每个模型必须背到看图秒识别
③ 三角形的"计算器"(第 6 章):面积 / 边长 / 周长 6 大公式 + 等积变换
④ 三角形 + 坐标系(第 7 章):压轴题的舞台 — 设参列方程 + 铅垂法 + 分类讨论
⑤ 三角形 + 旋转(第 8 章):压轴题的另一种舞台 — 旋转产生全等 / 相似 / 等边内点 3-4-5
⑥ 三角形与圆(第 9 章):外接圆 / 内切圆 + 外心 / 内心 + 直角 / 等边特殊三角形的圆公式
💎 4 大核心心法(每一条都能直接用在解题上)
① 识别模型 — 全等 8 模型 / 相似 8 模型 / 旋转 5 模型,看到图秒反应用哪个。每个模型刷到"扫一眼就识别"的程度,解题速度直接翻倍。
② 分类讨论 — 等腰 2 类(顶角 / 底角)、等腰边长 2 类(腰 / 底)、直角 3 类(在 A / B / P)、相似 2 种对应、动点分段。这是中考"会做但漏分"重灾区 — 少一类就丢这一类的全部分。
③ 设参列方程 — 动点题永远 1 个参数 $t$,所有几何条件(等腰 / 直角 / 相似 / 面积)转成 $t$ 的方程,稳扎稳打;面积最值 → 二次函数顶点。
④ 辅助线套路 — 等腰加底中线、共顶点加旋转、求两段和加对称点、直角加圆轨迹、SSA 加垂线变 HL。中考压轴几乎都靠这些辅助线破题。
📅 备考节奏建议
入门(基础不稳) → 第 1-3 章理论 + 每章题库专题 1-3 道,目标 80% 正确
巩固(分类总错) → 第 4-5 章全等 / 相似 8 + 8 个模型 + 第 6 章面积 → 把分类讨论过 3 遍
冲刺(压轴拿分) → 第 7-8 章坐标系 / 旋转 + 第 9 章 §9.1 五步法 → 每天刷一道压轴(p102 那种 30 分综合题)
考前(查漏) → 翻 §9.2 必备公式全集 + §9.3 易错点全集 + 做 1 套真题模拟
🎯 三句话送给浩然
"几何题先识别模型,识别不了就找等量关系;动点题永远 1 个参数 $t$,几何条件全转成方程;分类讨论必须穷尽,等腰 / 直角各 3 类,少一类就丢一类的分。"
中考冲 770+,加油!
⚠️通用易错点排查
下面是 跨章节的易错点(占丢分的 60%,最重要)+ 折叠 / 动点专题的易错。各章节专属易错已分散到对应章顶部的 "⚠️ 易错点排查" 卡片。
🔴 通用类(占丢分的 60%,最重要)
没分类讨论 — 等腰 / 直角 / 相似 题型不分类直接做,会漏一种甚至两种情况(扣全分的 1/3 ~ 1/2)
分类后没合并答案 — 分了 3 类,只给 1 个答案,其他两类的解漏写
没排除退化情况 — 解出的 $P$ 跟已知点重合 / 三点共线 / 在范围外,没排除
动点参数没写取值范围 — 设 $P(t,...)$ 但不写 $0 < t < 3$ 之类的范围(扣 1-2 分)
不写"答" — 解出来不写最终结论"∴ $P$ 的坐标为 ..."(扣 1 分)
不验证 — 解方程得到的根没代回原题验证(可能不满足几何配置)
格式不规范 — 全等 / 相似证明漏写"在 △XXX 和 △YYY 中"、漏判定方法、漏大括号(每处扣 1-2 分,累计很多)
📘 折叠 / 动点专题
折叠题忘了"折叠前 = 折叠后" — 边、角相等(对应边等、对应角等),配合勾股列方程
折叠后形成的直角三角形 — 常需要找 Rt△ 用勾股
数轴动点不分段 — $P$ 在不同区间("$P$ 在 $A$ 左侧 / $A$、$B$ 之间 / $B$ 右侧")的距离公式不同,要分段
线段上找等腰不分 3 类 — 等腰的 3 种情况都要列
双动点时间 $t$ 取值范围 — 两个动点都有自己的范围,要写清
双动点面积函数 — 用 $t$ 表达底和高,得 $S(t)$ 二次函数 → 顶点求最值
📋压轴题通用模板
中考压轴题(12-14 分,2-3 子问)看似难,套路其实就 5 步。每一步对应一段固定分,按步骤走稳拿大部分分。
⚡ 压轴题"五步法"(从读题到写答)
第 0 步 · 读题 + 画图(约 2 分钟,不写在试卷上)
① 圈出动点 / 动量 / 定点 / 定边
② 用一句话总结题意:"已知什么 + 求什么 + 在什么范围"
③ 在草稿上重画图:标已知量(等长杠、直角符号)+ 标未知量(P 的可能位置)
不画图直接做 = 漏条件 = 整题崩
第 1 步 · 求基础量(★ 入门分,2-4 分)
① 有函数的题:求函数解析式(待定系数法)+ 与坐标轴交点(令 $x=0$ 或 $y=0$)
② 纯几何题:求关键边长(勾股 / 距离公式)+ 关键角度
③ 所有题:写清楚约束范围(在哪个象限 / 哪段线段上 / $t$ 的范围)
第 2 步 · 参数化(用 1 个 $t$ 表示动量)(★★ 关键转化,3-6 分)
① 选1 个动点,用 $t$ 表示它的横坐标(或时间)
② 由曲线方程得纵坐标:$P(t, f(t))$,如抛物线 $P(t, at^2+bt+c)$
③ 用 $t$ 表达需要的量:线段长、铅垂高、面积
④ 写清 $t$ 的取值范围(常忘 → 扣 1-2 分)
第 3 步 · 列方程 + 分类讨论(★★★ 主分,5-8 分)
等腰存在性 → 3 类讨论($PA=PB$ / $PA=AB$ / $PB=AB$)
直角存在性 → 3 类讨论(直角在 A / B / P);前两类用斜率乘积 $= -1$,第三类用圆轨迹
相似存在性 → 2 种对应($\triangle PAB \sim \triangle DEF$ vs $\sim \triangle DFE$)
面积最值 → 用铅垂高代替距离 → $S(t)$ 二次函数 → 顶点公式求最值
面积比 / 相似比 → 面积比 = 相似比²
第 4 步 · 验证 + 写答(★ 卷面分,1-2 分)
① 验证每个解:在指定曲线 / 范围上?不退化(与已知点重合 / 三点共线)?符合象限?
② 合并答案:多类解都列出
③ 写 $\therefore$ + "答":"存在 / 不存在,$P$ 的坐标为 ..."
① 圈出动点 / 动量 / 定点 / 定边
② 用一句话总结题意:"已知什么 + 求什么 + 在什么范围"
③ 在草稿上重画图:标已知量(等长杠、直角符号)+ 标未知量(P 的可能位置)
不画图直接做 = 漏条件 = 整题崩
第 1 步 · 求基础量(★ 入门分,2-4 分)
① 有函数的题:求函数解析式(待定系数法)+ 与坐标轴交点(令 $x=0$ 或 $y=0$)
② 纯几何题:求关键边长(勾股 / 距离公式)+ 关键角度
③ 所有题:写清楚约束范围(在哪个象限 / 哪段线段上 / $t$ 的范围)
第 2 步 · 参数化(用 1 个 $t$ 表示动量)(★★ 关键转化,3-6 分)
① 选1 个动点,用 $t$ 表示它的横坐标(或时间)
② 由曲线方程得纵坐标:$P(t, f(t))$,如抛物线 $P(t, at^2+bt+c)$
③ 用 $t$ 表达需要的量:线段长、铅垂高、面积
④ 写清 $t$ 的取值范围(常忘 → 扣 1-2 分)
第 3 步 · 列方程 + 分类讨论(★★★ 主分,5-8 分)
等腰存在性 → 3 类讨论($PA=PB$ / $PA=AB$ / $PB=AB$)
直角存在性 → 3 类讨论(直角在 A / B / P);前两类用斜率乘积 $= -1$,第三类用圆轨迹
相似存在性 → 2 种对应($\triangle PAB \sim \triangle DEF$ vs $\sim \triangle DFE$)
面积最值 → 用铅垂高代替距离 → $S(t)$ 二次函数 → 顶点公式求最值
面积比 / 相似比 → 面积比 = 相似比²
第 4 步 · 验证 + 写答(★ 卷面分,1-2 分)
① 验证每个解:在指定曲线 / 范围上?不退化(与已知点重合 / 三点共线)?符合象限?
② 合并答案:多类解都列出
③ 写 $\therefore$ + "答":"存在 / 不存在,$P$ 的坐标为 ..."
🎯 压轴题"特殊技巧"6 件套
① 铅垂高代替距离:抛物线 / 函数图象上找点到直线距离最大 → 过动点作竖直线 → 铅垂高 $\propto$ 距离 → 二次函数求最值
② 直角点的轨迹是圆:$\angle APB = 90°$ → $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上(圆周角定理)
③ 等腰点的轨迹是中垂线:$PA = PB$ → $P$ 在 $AB$ 的中垂线上
④ 面积比 = 相似比²:见到 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 就想"开方 = 相似比"
⑤ 三点共线的等价:$\dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B} = \dfrac{y_B-y_C}{x_B-x_C}$(斜率相等)
⑥ 抛物线动点对称性:抛物线对称轴上任一点 $P$ 到对称两点距离相等 → 自带等腰
② 直角点的轨迹是圆:$\angle APB = 90°$ → $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上(圆周角定理)
③ 等腰点的轨迹是中垂线:$PA = PB$ → $P$ 在 $AB$ 的中垂线上
④ 面积比 = 相似比²:见到 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 就想"开方 = 相似比"
⑤ 三点共线的等价:$\dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B} = \dfrac{y_B-y_C}{x_B-x_C}$(斜率相等)
⑥ 抛物线动点对称性:抛物线对称轴上任一点 $P$ 到对称两点距离相等 → 自带等腰
⏱️ 时间管理 + 卷面 — 压轴题分配建议
总时间:压轴题留 25-35 分钟(120 分钟卷)
分配:读题画图 2-3 分钟 + 第 1 问 5-8 分钟 + 第 2 问 8-12 分钟 + 第 3 问 12-15 分钟
第 3 问 先把每类列方程的部分写出来 — 即使解不完整也能拿分类讨论的 50% 分
解不出别空:写出"设 $P(t, ...)$,列方程 ... = ...",哪怕解错也能拿 2-3 分
1定义与基本性质
先把三角形的"身份证"搞清楚——什么是三角形、它有哪些必备的性质、不同的三角形怎么分类。这些是后面所有内容的基础。
📐 必备公式
三边关系
$|a-b| < c < a+b$(开区间,等号不取)
内角和
三内角之和 $= 180°$
外角公式
任一外角 $= $ 不相邻两内角之和
多边形内角和
$n$ 边形 $= (n-2) \cdot 180°$
四种重要线段
① 高(从顶点到对边的垂线段);② 中线(顶点到对边中点);③ 角平分线;④ 中垂线(底边垂直平分线)
角平分线性质
角平分线上的点 → 到角两边距离相等(可正反双向使用)
中垂线性质
中垂线上的点 → 到线段两端距离相等(可正反双向使用)
四心
重心(中线交点,顶点到重心 : 重心到中点 $= 2:1$)、垂心(高交点)、内心(角平分线交点)、外心(中垂线交点);等边四心合一
外角不等式
三角形任一外角 > 任一不相邻内角
三角形稳定性
三角形是唯一边长固定 → 形状固定的多边形(四边形可形变,加对角线才稳定)
钝角三角形高
钝角所在两边对应的高在三角形外部(需延长对边)
⚠️ 易错点排查
⚠️ 三边关系只检上界
只验 $a+b>c$,漏掉 $|a-b|
⚠️ 第三边范围开区间
$|a-b|
⚠️ 外角公式记反
一外角 = 不相邻两内角和,不是相邻内角和;也 = $180°-$ 相邻内角
⚠️ 含参数的角没验范围
解出 $x$ 后须验三个角都 $>0°$ 且 $<180°$,否则舍解
⚠️ 钝角三角形高画在内部
钝角两条短边对应的高要延长对边画在外部,只有钝角对边上的高在内部
⚠️ 角平分线性质 / 判定混用
性质:线上点 → 两边距离等;判定(反):两边距离等 → 在线上;条件结论不要倒挂
⚠️ 中垂线性质 / 判定混用
性质:线上点 → 两端距离等;判定(反):两端距离等 → 在中垂线上
⚠️ 重心 2:1 方向写反
顶点→重心 : 重心→对边中点 $= 2:1$(不是 1:2),用反整道题崩
⚠️ 四心张冠李戴
内心(角平分线)、外心(中垂线)、重心(中线)、垂心(高);只有等边四心合一,其他三角形四心分开
⚠️ 三角形稳定性 vs 多边形
三角形边长定 → 形状唯一;四边形需加对角线才稳定(填空题考)
📋 题型速查表
📋 给三条线段,问能否构成三角形 / 第三边范围
三边关系 $|a-b|(§1.2)
📋 已知某些角,求其他角
内角和 $180°$;外角 = 不相邻两内角之和 (§1.3)
📋 角度含未知数 $x$
列方程:三角内角和 = $180°$ / 用外角公式 (§1.3,题库基础专题 3)
📋 钝角三角形求高
钝角对应的两条高要向外延长对边才能作出 (§1.5,题库基础专题 7)
📋 角平分线上一点,问到两边距离
到两边距离相等(角平分线性质) (§1.5,题库基础专题 4)
📋 反过来:已知到两边距离相等
此点在角平分线上 (§1.5 反向)
📋 中垂线上一点,问到两端距离
到两端距离相等(中垂线性质) (§1.5,题库基础专题 5)
📋 反过来:已知到两端距离相等
此点在中垂线上 (§1.5 反向)
📋 问周长 / 转化线段
用中垂线把"到两端距离"换成"另一端距离",凑成完整周长 (题库基础专题 5 应用)
📋 重心(三条中线交点)
把每条中线分成 $2:1$,顶点到重心 : 重心到中点 $= 2:1$ (§1.6,题库拓展 1)
📋 垂心 / 内心 / 外心
三条高 / 角平分线 / 中垂线的交点;等边三角形四心合一 (§1.6,题库拓展 2)
📋 看到相似题找相等角
5 大来源:① 平行(同位/内错);② 对顶角;③ 公共角;④ 直角;⑤ 同角的余角/补角 (§1.3,相似题钥匙)
📋 判断三角形稳定性
三角形边长固定 → 形状唯一(实际工程支架最常用);四边形要加对角线才稳定 (§1.4 性质应用)
📋 多边形内角和
$(n-2) \times 180°$;外角和恒等于 $360°$(与边数无关) (§1.3 拓展)
1.1什么是三角形
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做三角形。三个顶点、三条边、三个内角是它的基本要素。
三角形 ABC
顶点、边、内角的命名
1.2三边关系（必考）
三角形的三条边长度有一个铁律——任意两边之和大于第三边，反过来说任意两边之差小于第三边。这条性质是判断"三条线段能不能组成三角形"的核心标准。
⚡ 三边关系定理
$$a + b > c, \quad |a - b| < c$$
换句话说：第三边的取值范围是 $|a-b| < c < a+b$。这是中考填空题的高频考点。
1.3内角和定理
三角形三个内角之和恒等于 180°，这是初中几何最常用的性质之一。它的证明方法（过一个顶点作对边的平行线）是必背的基础证明。
⚡ 内角和定理
$$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$$
推论：
① 直角三角形两锐角互余：若 $\angle C=90°$，则 $\angle A+\angle B=90°$
② 外角等于不相邻两内角之和：三角形的一个外角 = 与它不相邻的两个内角之和
③ 一角等于另两角之和 ⇒ 直角三角形：若 $\angle A=\angle B+\angle C$，与内角和联立得 $2\angle A=180°$，故 $\angle A=90°$
① 直角三角形两锐角互余：若 $\angle C=90°$，则 $\angle A+\angle B=90°$
② 外角等于不相邻两内角之和：三角形的一个外角 = 与它不相邻的两个内角之和
③ 一角等于另两角之和 ⇒ 直角三角形：若 $\angle A=\angle B+\angle C$，与内角和联立得 $2\angle A=180°$，故 $\angle A=90°$
🔑 找相等角的 5 种方法(相似题的钥匙)
相似的核心判定是 AA(两个角相等)。下面 5 种"找相等角"的方法,几乎覆盖中考所有相似题。看到一道相似题,先扫描这 5 种情况:
🔑 找相等角 5 大思路(按使用频率)
① 平行 → 同位角 / 内错角(A字、8字模型的核心)。看到 "$\parallel$" 立刻找。
② 对顶角(任何两条线交叉处都"免费"提供一对对顶角)。8字模型靠这个。
③ 公共角(两个三角形共用一个顶点的角自动相等)。A字模型靠这个。
④ 直角(题目里所有 90° 都相等)。直角三角形相似的常见来源。
⑤ 同角(等角)的余角/补角:若 $\angle 1 + \angle 2 = 90°$ 且 $\angle 1 + \angle 3 = 90°$,则 $\angle 2 = \angle 3$。一线三等角(K字模型)的核心。
💡 解题思路链
看到相似题 → 找两个相等角 → 立刻问自己:这两个角是"平行/对顶/公共/直角/余角"哪一类?
认准来源后,推导思路自动清晰——相似题就变成了"挑出 2 对相等角再套 AA"。
认准来源后,推导思路自动清晰——相似题就变成了"挑出 2 对相等角再套 AA"。
1.4三角形的分类
三角形按角分为三类，按边分为两类。看图最直观：
按角分类
类型 一
锐角三角形
类型 二
直角三角形
类型 三
钝角三角形
按边分类
| 类型 | 特征 | 关键性质 |
|---|---|---|
| 不等边三角形 | 三条边都不相等 | 无特殊性质 |
| 等腰三角形 | 有两条边相等 | 两底角相等；"三线合一" |
| 等边三角形 | 三条边都相等（等腰的特例） | 三角都是 60°；三种线段全部重合 |
1.5三角形中的四种重要线段
三角形里有四种与边密切相关的特殊线段。前三种(高/中线/角平分线)从顶点出发;垂直平分线从对边中点出发,不一定过顶点。四种的定义和性质必须分清:
线段 一
高（垂线）
线段 二
中线
线段 三
角平分线
线段 四
垂直平分线(中垂线)
🎯 速记口诀
顶点出三线,中点出垂线:高 / 中线 / 角平分线都从顶点出发,作用对象分别是「对边垂直」「对边中点」「顶角等分」;垂直平分线则从对边中点出发,与顶点无关 —— 它对应 1.6 节的外心(三条中垂线交点)。
1.6三角形的"四心"（拓展）
三角形里四组三条线分别交于四个点，每个都有名字。中考虽然不直接考定义，但相关性质（比如重心分中线 2:1）经常出现：
| 名称 | 哪三条线相交 | 核心性质 |
|---|---|---|
| 重心 | 三条中线 | 到顶点距离 : 到对边距离 = $2:1$ |
| 垂心 | 三条高 | 钝角三角形垂心在外部 |
| 内心 | 三条角平分线 | 到三边距离相等（=内切圆半径） |
| 外心 | 三条边的垂直平分线 | 到三顶点距离相等（=外接圆半径） |
🔑 第1章小结
三角形的基础性质就这几条：三边关系（构造判断）、内角和 180°（角度计算）、分类（识别题目类型）、四种重要线段（高/中线/角平分线/中垂线 — 辅助线的常见对象）、四心(重心/垂心/内心/外心)。这些是后面所有内容的地基，必须烂熟于心。
2等腰三角形与等边三角形
等腰、等边、直角三角形是初中几何的"三大顶梁柱"。它们因为有额外的对称性或边角关系，能用更简单的方法解题，是中考几何题的高频主角。
📐 必备公式
等腰三角形性质
两腰相等 → 等边对等角(两底角相等)
三线合一
等腰三角形底边上的中线 = 高 = 顶角平分线(同一条线段)
等腰判定
① 两边相等 → 等腰;② 两角相等 → 等腰("等角对等边")
等边三角形(边长 $a$)
高 $h = \dfrac{\sqrt 3}{2}\, a$
面积 $S = \dfrac{\sqrt 3}{4}\, a^2$
内切圆半径 $r = \dfrac{\sqrt 3}{6}\, a$
外接圆半径 $R = \dfrac{\sqrt 3}{3}\, a = 2r$
四心合一(内心 = 外心 = 重心 = 垂心)
面积 $S = \dfrac{\sqrt 3}{4}\, a^2$
内切圆半径 $r = \dfrac{\sqrt 3}{6}\, a$
外接圆半径 $R = \dfrac{\sqrt 3}{3}\, a = 2r$
四心合一(内心 = 外心 = 重心 = 垂心)
等边判定 3 法
① 三边等;② 三角都 $60°$;③ 等腰 + 一个 $60°$ 角(最常用)
等腰三角形对称性
底边的中垂线 = 顶角的角平分线 = 顶点到底边的高 = 顶点到底边的中线(同一条直线)
三线合一逆用
三角形中,顶角平分线、底边中线、底边上的高 —— 任意两条重合 → 等腰
等腰底角范围
$0° < \text{底角} < 90°$;顶角 $0° < \text{顶角} < 180°$
⚠️ 易错点排查
⚠️ 等腰角度题不分类
给一个角不指明是顶角还是底角 → 必须分 2 类讨论(底角 < 90° 才存在)
⚠️ 等腰边长题不分类
给一条边不指明是腰还是底 → 分 2 类讨论,每类再用三边关系排除退化
⚠️ 三线合一用在腰上
三线合一只对底边:底边中线 = 底边高 = 顶角平分线;腰上中线 ≠ 高,不能合一
⚠️ 等腰底角 ≥ 90°
底角必须 $<90°$(两底角相等,和 $<180°$),否则不存在
⚠️ "两 60° 角 = 等边"
错!应是"三角都 60°"或"等腰 + 任一 60° 角";两 60° 没说明等边(可能是直角三角形 30-60-90)
⚠️ 等边高 / 面积公式记错
高 $=\frac{\sqrt 3}{2}a$,面积 $=\frac{\sqrt 3}{4}a^2$,内切圆 $r=\frac{\sqrt 3}{6}a$,外接圆 $R=\frac{\sqrt 3}{3}a=2r$
⚠️ "等腰 + 中点"忘了三线合一
题面给"等腰 $AB=AC$ 且 $D$ 为 $BC$ 中点" → 立即得 $AD \perp BC$ 且 $AD$ 平分 $\angle A$
⚠️ 等边内角全 60°
见等边立即标出 3 个 60° 和 3 边相等,常被忘后绕远路
⚠️ 等腰判定漏"等角对等边"
判定有 4 法:定义 / 两底角等 / 三线合一逆 / 等角对等边;选填常考
①
等腰三角形（两边相等）
📋 题型速查表
📋 等腰三角形已知一个角求其他角
分清顶角 / 底角;顶角 + 2 × 底角 = $180°$;分类讨论 2 类(已知角是顶角 / 底角) (§2.1,题库特殊专题 1)
📋 等腰三角形已知一条边求其他
分清腰 / 底;分类讨论 2 类;用三边关系验证退化情况 (§2.1,题库特殊专题 1 应用)
📋 等腰三角形顶角的高 / 中线 / 角平分线
三线合一:三条线重合,垂直平分底边 (§2.1)
📋 已知等腰 + 一条腰上的高
用三线合一 + 勾股定理算出底边一半 (§2.1)
📋 等边三角形判定
3 种方法:① 三边等;② 三角都 $60°$;③ 等腰 + 一角 $60°$(最常用) (§2.2,题库特殊专题 2)
📋 等边三角形求高 / 面积
高 $= \frac{\sqrt 3}{2} a$;面积 $= \frac{\sqrt 3}{4} a^2$;高分出的两个直角三角形是 30-60-90(比 $1:\sqrt 3:2$) (§2.2,题库特殊专题 2)
📋 角平分线 + 平行线 → 出等腰
经典构造:角平分线把两个角平分,平行线产生内错角等 → 推出等腰 (§2.1,题库特殊专题 3)
📋 等边三角形外接圆 + 内切圆
$R = 2r$;$R = \frac{\sqrt 3}{3} a$;$r = \frac{\sqrt 3}{6} a$;四心合一 (§2.2 拓展,题库三角形和圆专题 3)
📋 等腰三角形顶角 / 底角换算
顶角 $\alpha$ → 底角 $= \dfrac{180° - \alpha}{2}$;底角 $\beta$ → 顶角 $= 180° - 2\beta$ (§2.1)
📋 逆用三线合一证等腰
三角形中,中线 = 高 / 中线 = 角平分线 / 高 = 角平分线 → 推出等腰 (§2.1 反向)
📋 等边三角形 + 内一点距离题
绕一顶点旋转 60° 凑成等边或直角(§8.6 模型) (关联 §8.6)
2.1等腰三角形的定义、性质与判定
有两条边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两条边叫腰，第三条边叫底，腰与底的夹角叫底角，两腰的夹角叫顶角。
基本构造
等腰三角形 ABC
关键性质
三线合一
⚡ 等腰三角形核心性质
① 等边对等角：$AB=AC \Rightarrow \angle B = \angle C$
② 三线合一：顶角平分线 = 底边中线 = 底边上的高
② 三线合一：顶角平分线 = 底边中线 = 底边上的高
📋 两种判定方法
方法一(定义法)：三角形有两条边相等 → 等腰三角形
方法二(等角对等边)：三角形有两个角相等 → 等腰三角形(是"等边对等角"的逆命题)
判定 ↔ 性质 的对应:
性质「$AB=AC \Rightarrow \angle B=\angle C$」(已知边等 → 角等)
判定「$\angle B=\angle C \Rightarrow AB=AC$」(已知角等 → 边等)
两者双向可用。中考最常用判定方法二:看到"两角相等",立刻得"两边相等"。
性质「$AB=AC \Rightarrow \angle B=\angle C$」(已知边等 → 角等)
判定「$\angle B=\angle C \Rightarrow AB=AC$」(已知角等 → 边等)
两者双向可用。中考最常用判定方法二:看到"两角相等",立刻得"两边相等"。
②
等边三角形（三边都相等）
2.2等边三角形的性质与判定
等边三角形是等腰三角形的特殊情况——三条边都相等。因此它继承了等腰的全部性质，还多了几条独有的：
完美对称
等边三角形 ABC
⚡ 等边三角形核心性质
① 三边相等，三角都是 $60°$
② 三条中线、三条高、三条角平分线分别重合（每个顶点的"三线合一"都成立）
③ 边长为 $a$ 的等边三角形：高 = $\dfrac{\sqrt3}{2}a$，面积 = $\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$
② 三条中线、三条高、三条角平分线分别重合（每个顶点的"三线合一"都成立）
③ 边长为 $a$ 的等边三角形：高 = $\dfrac{\sqrt3}{2}a$，面积 = $\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$
📋 三种判定方法
方法一：三条边都相等 → 等边三角形（定义）
方法二：三个角都相等（即都是 $60°$）→ 等边三角形
方法三（最常用）：等腰三角形 + 有一个角是 $60°$ → 等边三角形（不管这个 $60°$ 是顶角还是底角都行）
🔑 第2章小结
等腰三角形的核心是"等边对等角" + 三线合一;等边三角形是"加强版等腰" — 多一个 $60°$ 角的所有好性质($1:\sqrt 3:2$ 直角、$\frac{\sqrt 3}{4} a^2$ 面积、$R = 2r$ 四心合一)。
陷阱:角度 / 边长问题必须分类讨论(顶角 vs 底角、腰 vs 底),少一类就丢分!
3直角三角形与勾股定理
📐 必备公式
勾股定理
$a^2 + b^2 = c^2$($c$ 是斜边)
勾股逆定理
若 $a^2+b^2=c^2$($c$ 是最长边)→ 直角三角形(直角在 $c$ 的对角)
常见勾股数(必背)
$(3,4,5)$、$(5,12,13)$、$(8,15,17)$、$(7,24,25)$、$(9,40,41)$ + 它们的倍数
30°-60°-90°
边比 $1 : \sqrt 3 : 2$($30°$ 对短边 = 斜边一半)
45°-45°-90°
(等腰直角):边比 $1 : 1 : \sqrt 2$
斜边中线
$=$ 斜边一半
两锐角互余
$\angle A + \angle B = 90°$
三角函数定义
$\sin A = \dfrac{\text{对}}{\text{斜}}$,$\cos A = \dfrac{\text{邻}}{\text{斜}}$,$\tan A = \dfrac{\text{对}}{\text{邻}}$
同角关系
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$;$\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}$
互余关系
$\sin(90°-A) = \cos A$;$\cos(90°-A) = \sin A$
距离公式
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$(本质 = 勾股)
射影定理
(直角三角形斜边上作高):
高² $=$ 两射影之积 $h^2 = pq$
直角边² $=$ 邻射影 × 斜边 $a^2 = p c$,$b^2 = q c$
高² $=$ 两射影之积 $h^2 = pq$
直角边² $=$ 邻射影 × 斜边 $a^2 = p c$,$b^2 = q c$
$30°/45°/60°$ 三角函数表
$\sin 30° = \dfrac12$,$\sin 45° = \dfrac{\sqrt 2}{2}$,$\sin 60° = \dfrac{\sqrt 3}{2}$
$\cos$ 与 $\sin$ 互补($\cos 30° = \sin 60°$ …)
$\tan 30° = \dfrac{\sqrt 3}{3}$,$\tan 45° = 1$,$\tan 60° = \sqrt 3$
$\cos$ 与 $\sin$ 互补($\cos 30° = \sin 60°$ …)
$\tan 30° = \dfrac{\sqrt 3}{3}$,$\tan 45° = 1$,$\tan 60° = \sqrt 3$
直角三角形面积
$S = \dfrac{ab}{2}$(两直角边乘积一半)$= \dfrac{c \cdot h_c}{2}$($h_c$ 为斜边上的高) → $ab = c \cdot h_c$
| 角度 | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| $30°$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 3}{3}$ |
| $45°$ | $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ | $1$ |
| $60°$ | $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ | $\dfrac12$ | $\sqrt 3$ |
⚠️ 易错点排查
⚠️ 勾股定理斜边 / 直角边搞反
$a^2+b^2=c^2$ 中 $c$ 必须是斜边(最长边),不能把直角边当 $c$
⚠️ 勾股逆定理找错最长边
判直角要用"最长边² = 另两边²和";最长边选错就判错
⚠️ 30-60-90 比例 $1:\sqrt 3:2$ 用反
短边对 30°、长边对 60°、斜边对 90°;角和边的对应不要倒
⚠️ "30° 对边 = 斜边一半"漏背
含 30° 角的直角三角形必用,设短边 $a$ 直接得斜边 $2a$
⚠️ 45-45-90 比例 $1:1:\sqrt 2$
两直角边相等,斜边 $=$ 腰 $\times\sqrt 2$;反过来 腰 $=$ 斜 $/\sqrt 2$ 时漏分母有理化
⚠️ 斜边中线 = 斜边一半
直角三角形专有,见直角立即标出,常忘
⚠️ 常见勾股数
$(3,4,5)$、$(5,12,13)$、$(8,15,17)$、$(7,24,25)$、$(20,21,29)$ 及倍数,看到要秒反应
⚠️ HL 只对直角三角形
斜边 + 一直角边 → 全等,非直角三角形不能用 HL
⚠️ 勾股反用算高 / 段
已知三边求高:面积法 $h=\frac{2S}{a}$;斜边上分段:用射影定理(母子相似)
③
直角三角形（有一个 90° 角）
📋 题型速查表
📋 直角三角形斜边上的中线
$=$ 斜边的一半 (§3.1,题库直角专题 1)
📋 直角三角形两锐角
互余($\angle A + \angle B = 90°$) (§3.1)
📋 $30°$-$60°$-$90°$ 直角三角形
边比 $1 : \sqrt 3 : 2$;$30°$ 对的边 = 斜边一半 (§3.2,题库直角专题 1、特殊专题 2)
📋 $45°$-$45°$-$90°$ 等腰直角三角形
边比 $1 : 1 : \sqrt 2$ (§3.2)
📋 直角三角形已知两边求第三边
勾股定理 $a^2+b^2=c^2$;熟记 $(3,4,5)$、$(5,12,13)$、$(8,15,17)$、$(7,24,25)$ (§3.3)
📋 判断三边能否构成直角
勾股逆定理:最长边² $=$ 另两边²之和 (§3.3)
📋 两点间距离
距离公式 $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$(本质 = 勾股) (§3.3,题库直角专题 2)
📋 水平 / 竖直线段
坐标相减取绝对值,不用开根 (§3.3)
📋 点到原点距离
$\sqrt{x^2+y^2}$(距离公式特例) (§3.3)
📋 坐标系判断 / 构造等腰
算三边长找两条相等;或用对称性 (§3.3,题库直角专题 2)
📋 两个直角三角形,斜边和一条直角边等
HL 全等(直角专属) (题库直角专题 3、3 应用)
📋 HL 的本质
由勾股 $b^2 = c^2-a^2$ 推出三边都确定 → 实际 = SSS 的快捷版
📋 非直角三角形求边
作高变成直角三角形,再用 $\sin/\cos$ 算 (题库直角专题 4)
📋 已知一个锐角 + 一条边求其他边
用 $\sin = \frac{对}{斜}$、$\cos = \frac{邻}{斜}$、$\tan = \frac{对}{邻}$ (§3.2,关联 §6.3)
📋 直角三角形斜边上的高
射影定理:$h^2 = pq$;$a^2 = pc$;$b^2 = qc$(自动产生 3 对相似) (§3.1,关联 §5)
📋 直角三角形面积求斜边上的高
双面积法:$\dfrac{ab}{2} = \dfrac{c \cdot h_c}{2}$ → $h_c = \dfrac{ab}{c}$ (§3.1 推论)
📋 含 $\sin/\cos/\tan$ 求边长
查 $30°/45°/60°$ 表;非特殊角则保留三角函数值 (§3.2)
3.1直角三角形的性质
直角三角形最重要的不是定义（有一个 $90°$ 角），而是它产生的两个"超级工具"——勾股定理和三角函数。这一节先看核心性质：
基本
直角三角形的名称
超级工具
勾股定理
⚡ 直角三角形核心性质
① 两锐角互余：$\angle A + \angle B = 90°$
② 勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$（$c$ 为斜边）
③ 斜边上的中线 = 斜边的一半（$\angle C=90° \Rightarrow CD = \frac12 AB$，$D$ 是 $AB$ 中点）
④ 30°角所对的直角边 = 斜边的一半（$30°\text{-}60°\text{-}90°$ 三角形的最重要性质）
② 勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$（$c$ 为斜边）
③ 斜边上的中线 = 斜边的一半（$\angle C=90° \Rightarrow CD = \frac12 AB$，$D$ 是 $AB$ 中点）
④ 30°角所对的直角边 = 斜边的一半（$30°\text{-}60°\text{-}90°$ 三角形的最重要性质）
3.2两种特殊的直角三角形
这两种直角三角形是所有特殊角三角函数值的来源，必须烂熟于心：
特殊一
等腰直角三角形（45°-45°-90°）
特殊二
30°-60°-90° 三角形
核心
距离公式 = 勾股定理的坐标版
3.3两点间距离公式的本质
坐标系里任意两点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 的距离，就是把它们当成一个直角三角形的斜边来求。在 $A$、$B$ 之间补出一条水平边和一条竖直边，就得到直角三角形：
核心图
两点构成直角三角形
⚡ 两点间距离公式
$$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$
这就是勾股定理 $c=\sqrt{a^2+b^2}$ 在坐标系里的样子——斜边 $c$ 换成距离 $|AB|$，两条直角边换成坐标差。记住勾股定理，距离公式就不用单独背。
4全等三角形
全等三角形是初中几何第一个真正的"证明工具"。它的核心思想是:能把一个图形通过平移、旋转、翻折(三种刚体变换)完全重合到另一个图形上。学好这一章,几乎所有几何证明题都有了突破口。
📐 必备公式
全等 5 种判定
① SSS:三边对应相等
② SAS:两边及夹角(必须是夹角,不能是对角!)
③ ASA:两角及夹边(必须是夹边)
④ AAS:两角及一对应边
⑤ HL:斜边和一条直角边(仅限直角三角形)
② SAS:两边及夹角(必须是夹角,不能是对角!)
③ ASA:两角及夹边(必须是夹边)
④ AAS:两角及一对应边
⑤ HL:斜边和一条直角边(仅限直角三角形)
全等性质
对应边相等、对应角相等、对应高/中线/角平分线相等
免费等量
(用得不要钱):公共边、公共角、对顶角
不合法判定(陷阱)
❌ SSA(两边一对角):退化为 HL(直角三角形)才合法
❌ AAA(三角等):只能证相似,不能证全等
❌ AAA(三角等):只能证相似,不能证全等
对应顶点书写
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ → $A \leftrightarrow D$,$B \leftrightarrow E$,$C \leftrightarrow F$(顺序对应)
证明书写格式(必背)
① 写"在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中";
② 列出三组对应相等条件(大括号);
③ 写判定方法:$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF$(SAS);
④ 由全等导出对应边/对应角相等(用 $\therefore$)
② 列出三组对应相等条件(大括号);
③ 写判定方法:$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF$(SAS);
④ 由全等导出对应边/对应角相等(用 $\therefore$)
倒推找条件
要证 $XY = MN$ → 找包含的两个三角形 → 凑 5 种判定的 3 个条件
公共边 / 对顶角 / 公共角
三个"免费"条件,题目里只要出现自动登记
⚠️ 易错点排查
⚠️ SSA 不是合法判定
两边和其中一边对角(非夹角)不能证全等;遇到等腰构造 $DE=DF$ 这种要转 HL 或先证等腰
⚠️ AAA 不是合法判定
三角等只能证相似,不能证全等(差一个比例尺)
⚠️ SAS 的 S 必须是夹角
两边 + 这两边的夹角;"两边 + 任一角"不成立
⚠️ ASA 的 S 必须是夹边
两角 + 这两角的夹边;若是另一边要用 AAS
⚠️ 对应顶点写乱
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 要 $A\!\leftrightarrow\!D$、$B\!\leftrightarrow\!E$、$C\!\leftrightarrow\!F$ 严格对应,顺序错则对应边角全错
⚠️ 公共边 / 公共角 / 对顶角漏用
"免费的等量",列条件时优先扫一遍
⚠️ HL 前没标 "Rt△"
必须先写"在 Rt△ 和 Rt△ 中",再列 HL 三件套
⚠️ 书写格式扣分
① "在 △X 和 △Y 中" ② $\begin{cases}\end{cases}$ 列 3 组条件 ③ 写判定 $\therefore \triangle X\cong\triangle Y$($SAS$) ④ 由全等推对应边/角
⚠️ 辅助线模型不识别
倍长中线(中点)、截长补短(角平分线 + 段差)、半角模型(正方形 + 45°)、手拉手(共顶点等腰)、一线三等角 — 见图先扫
📋 题型速查表
📋 SSS
条件：三边对应相等
易错：边长是否对应正确
考查方式：已知三边长比较;共边/共底
易错：边长是否对应正确
考查方式：已知三边长比较;共边/共底
📋 SAS
条件：两边及夹角
易错：必须是夹角,不能是对角(否则成 SSA)
考查方式：最常用——证两边和夹角
易错：必须是夹角,不能是对角(否则成 SSA)
考查方式：最常用——证两边和夹角
📋 ASA
条件：两角及夹边
易错：边必须夹在两角中间
考查方式：给两个底角和底边
易错：边必须夹在两角中间
考查方式：给两个底角和底边
📋 AAS
条件：两角及一非夹边
易错：边是其中一个角的对边
考查方式：角度容易凑齐时使用
易错：边是其中一个角的对边
考查方式：角度容易凑齐时使用
📋 HL
条件：斜边+一条直角边
易错：仅限直角三角形
考查方式：题目中有直角才考虑
易错：仅限直角三角形
考查方式：题目中有直角才考虑
4.1全等的定义与性质
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫"对应顶点",重合的边叫"对应边",重合的角叫"对应角"。记作 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$(注意:对应顶点要写在对应位置)。
基本概念
两个全等三角形
⚡ 全等的核心性质
① 对应边相等(三条边一一对应等长)
② 对应角相等(三个角一一对应相等)
③ 面积、周长相等(由前两条直接得出)
④ 对应的高、中线、角平分线也相等
② 对应角相等(三个角一一对应相等)
③ 面积、周长相等(由前两条直接得出)
④ 对应的高、中线、角平分线也相等
4.2五种判定方法(必背核心)
判定两个三角形全等,不需要 6 个元素全相等——只要满足下面 5 种"最小条件"中的任意一种即可。这是中考几何证明题的第一工具。
📋 五种判定速记
SSS(Side-Side-Side):三组对应边相等
SAS(Side-Angle-Side):两组对应边和它们的夹角相等
ASA(Angle-Side-Angle):两组对应角和它们的夹边相等
AAS(Angle-Angle-Side):两组对应角和其中一角的对边相等
HL(Hypotenuse-Leg):仅适用直角三角形—— 斜边和一条直角边相等
证两边或两角相等 → 找包含它们的两个三角形 → 证全等 → 对应边/角相等 (§4 总思路)
已知两边一角找全等 → 必须是夹角用 SAS;若角是对角 → 仅直角时 HL (§4.4 陷阱)
看到公共边 / 公共角 / 对顶角 → 立刻登记为"免费相等"条件 (全等 / 相似通用)
两角对应相等 → 只能证相似,不能证全等(还需一组边等) (§4.2 陷阱)
书写时要把已知条件凑齐 → 用大括号 $\{\}$ 列 3 行,最后写判定字母 → $\cong$ (§4.9)
题目里要证线段和(差)等于另一线段 → 截长补短法 / 旋转(辅助线) → 构造全等 (§4 辅助线)
⚠ 容易踩坑的"伪判定"
SSA(两边一对角)不能判定全等! 也就是说"两条边和其中一条边的对角对应相等"不一定全等。这是中考常考的陷阱。
AAA(三个角对应相等)只能判定相似,不能判定全等(可能大小不同)。
4.3SSS 判定 —— 三边对应相等
三角形的形状由三条边的长度完全确定(这是一个数学事实,你可以试试用三根固定长度的小棒只能拼出唯一形状)。所以三条边对应相等 → 两个三角形全等。
SSS
三边对应相等
4.4SAS 判定 —— 两边及夹角
关键词是"夹角"——必须是两条边夹着的那个角,不能是别的角。这是最容易出错的细节。
SAS
两边及夹角
4.5ASA 判定 —— 两角及夹边
关键词是"夹边"——必须是两个角夹着的那条边。
ASA
两角及夹边
4.6AAS 判定 —— 两角及一对边
和 ASA 不同——AAS 的边不是夹边,是其中一个角的对边。其实 AAS 可以由 ASA 推出来(因为已知两角就能算第三角,变回 ASA),所以教科书上一般把它当独立判定列出。
AAS
两角及一角对边
4.7HL 判定 —— 直角三角形专属
HL 是 "Hypotenuse-Leg"(斜边-直角边)。只能用于直角三角形——已知斜边和一条直角边对应相等就能判全等。这是直角三角形的"福利",其他三角形不能这样。
HL
斜边和一条直角边(仅直角三角形)
4.9全等证明题的书写规范
中考全等证明题对书写格式有严格要求。下面是标准模板:
📝 全等证明模板
第1步:写出"在 △ABC 和 △DEF 中"
第2步:列出三组条件(用大括号 { 圈起来),每行一条
第3步:写"∴ △ABC ≅ △DEF",后面括号注明判定方法(SAS / ASA 等)
第4步(如需要):由全等再推出后续结论(对应边/角相等)
第2步:列出三组条件(用大括号 { 圈起来),每行一条
第3步:写"∴ △ABC ≅ △DEF",后面括号注明判定方法(SAS / ASA 等)
第4步(如需要):由全等再推出后续结论(对应边/角相等)
📋 典型证明题套路
证两边相等 / 两角相等:找到包含这两边/两角的两个三角形,证全等,再用"对应边/角相等"
证线段平分:转化为证某两条线段相等
证角平分:转化为证某两个角相等
证垂直:常证两个全等三角形里相应的两个角加起来 90°
证平行:常证内错角相等(从全等推出)
🔑 第4章核心心法
全等三角形是初中几何的第一证明工具。看到证明题先想:能不能找到两个三角形,证它们全等,然后用对应边/角相等? 99% 的证明题都能这样破解。熟用 5 种判定方法(4.2-4.7)+ 规范 书写格式(4.9)= 手册核心。具体的 5 大经典模型(共边/对顶角/角平分对称/三垂直/手拉手)和 4 大辅助线技巧(倍长中线/截长补短/角平分双垂线/旋转手拉手)分别在题库 p001-p005 和 p038/p042 里完整深挖。
5相似三角形
相似是全等的"升级版"——形状相同但大小可以不同。如果说全等是"完全一样的两块拼图",相似就是"同一张照片放大或缩小"。相似三角形是中考几何压轴题的核心工具,特别是涉及"比例""线段长度计算"的题目。
📐 必备公式
相似 4 种判定
① AA(最常用):两组对应角相等
② SAS:两边比相等 + 夹角相等
③ SSS:三边比都相等
④ HL:斜边和一直角边对应成比例(直角专属)
② SAS:两边比相等 + 夹角相等
③ SSS:三边比都相等
④ HL:斜边和一直角边对应成比例(直角专属)
相似性质
(相似比 $= k$):
对应角相等;对应边比 $= k$;周长比 $= k$;面积比 $= k^2$(经典丢分!);对应高 / 中线 / 角平分线之比 $= k$
对应角相等;对应边比 $= k$;周长比 $= k$;面积比 $= k^2$(经典丢分!);对应高 / 中线 / 角平分线之比 $= k$
面积比 ↔ 相似比
面积比 $= k^2$,反向开方!
对应顶点书写
$\triangle PAB \sim \triangle DEF$ 跟 $\triangle PAB \sim \triangle DFE$ 不同!
三角形中位线
两边中点连线平行第三边且等于第三边一半
梯形中位线
两腰中点连线 $= \dfrac{a+b}{2}$(上下底之和的一半)
中线长公式
$m_a^2 = \dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$
中点四边形
任意四边形中点连线 → 必平行四边形;原矩形 → 中点菱形;原菱形 → 中点矩形;原正方形 → 中点正方形
角平分线分线段
$AD$ 平分 $\angle BAC$ → $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
平行线分线段成比例
$\ell_1 \parallel \ell_2 \parallel \ell_3$,截两直线得 $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF}$
基本相似(A 字 / 8 字模型)
三角形中,平行于一边的直线截另两边(或延长线)→ 截出的小三角形与原三角形相似
母子相似(射影)
直角三角形斜边上的高 → 自动产生 3 个相似三角形(大、小、原);$h^2 = pq$;$a^2 = pc$;$b^2 = qc$
⚠️ 易错点排查
⚠️ 面积比 ≠ 相似比
面积比 $=$ 相似比平方;反推面积比 $9:4$ 得相似比 $3:2$ 要开方
⚠️ 周长比 = 相似比
一次方,跟边比一样(常和面积比混)
⚠️ 对应顶点没分类
$\triangle PAB \sim \triangle DEF$ 与 $\triangle PAB \sim \triangle DFE$ 是两种对应,通常各列方程取并集
⚠️ 判定 SAS 相似 S 必须是夹角
两边成比例 + 这两边的夹角等;非夹角不成立(跟全等 SAS 同理)
⚠️ 判定漏"两角等"
最常用判定是 AA(两角对应等),先找等角再列比例
⚠️ 母子型射影定理写反
直角三角形斜边高分斜边 $p$、$q$:$h^2=pq$、$a^2=pc$、$b^2=qc$;字母对应要画图核对
⚠️ 中位线 = 第三边一半 + 平行
必须连两个中点;一个中点 + 任意点 ≠ 中位线
⚠️ A 字型 / 8 字型必有平行
找不到平行就构造不出 A / 8 字相似
⚠️ K 字 / 一线三等角不识别
一条线上三个等角(常 90°)→ 必有相似;旋转题中常见
⚠️ 找相似不画对应图
题中两三角形不在同一姿态时,先把对应顶点对齐重画再列比例,直接代易错
📋 题型速查表
📋 证两三角形相似
首选 AA(找 2 组对应角等):平行 / 公共角 / 对顶角是常见来源 (§5.3)
📋 两边比相等 + 夹角相等
SAS 相似 (§5.4)
📋 三边比都相等
SSS 相似 (§5.5)
📋 直角三角形,斜边与一直角边对应成比例
HL 相似 (§5.6)
📋 有平行线
找 A 字型 / 8 字型 相似 (题库相似模型 1)
📋 直角三角形 + 斜边上的高
母子型 / 射影定理,$h^2 = pq$,$a^2 = pc$,$b^2 = qc$ (题库相似模型 2)
📋 共顶点 + 边比相等 + 夹角等
斜 A 型 / 反 8 型(SAS 相似) (题库相似模型 3)
📋 三角形中点之间连线 / 平行线分线段
中位线相似,平行 + 一半 (题库相似模型 4 + 预备)
📋 两三角形共顶点 + 一个旋转得另一个
旋转型相似;自动产生第二对相似($\triangle ABD \sim \triangle ACE$) (题库相似模型 5,关联 §8.5)
📋 一直线上 3 个等角(或 1 个角 + 2 个等长)
K 字 / 一线三等角相似 (题库相似模型 6)
📋 X 型对顶角 + 平行
蝴蝶相似 $\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a}{b}\right)^2$ (题库相似模型 7)
📋 矩形内接于三角形
内接矩形模型,矩形边 = 三角形高 × 比例 (题库相似模型 8)
📋 求线段长
列相似比方程 $\dfrac{对应边}{对应边} = k$ → 代入解;对应顶点位置必须正确 (题库综合)
📋 面积比 ↔ 相似比
面积比 = 相似比²;反向题开方 (§5.1 性质,关联 §6.10)
📋 中点四边形
任意四边形中点连线必平行四边形;原矩形 → 中点菱形;原菱形 → 中点矩形;原正方形 → 中点正方形 (题库相似综合)
📋 坐标系找点构造相似
设动点 $P(t,...)$ → 用对应边方程解 $t$;考虑两种对应方式 (题库相似综合)
📋 题目里"平行"两个字
立刻找 A 字(平行线在两边截)或 8 字(两组对顶平行)相似 (§5.3,基本相似)
📋 大边 ÷ 小边 = 比值 $k$
验三组比都 $= k$ 用 SSS 相似 (§5.5)
📋 面积比 9 : 4
相似比 / 周长比 / 边长比 $= 3 : 2$(开方!) (§5.1 性质)
📋 周长比 3 : 2
面积比 $9 : 4$(平方!) (§5.1 性质)
5.1相似的定义与性质
两个三角形如果对应角相等且对应边成比例,就叫相似三角形,记作 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$。这个"成比例的倍数"叫相似比(用 $k$ 表示)。
基本概念
两个相似三角形(形状相同,大小不同)
⚡ 相似的核心性质
① 对应角相等:$\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$
② 对应边成比例:$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD}=k$($k$ 为相似比)
③ 周长之比 = 相似比($=k$)
④ 面积之比 = 相似比的平方($=k^2$)— 极其重要的考点!
⑤ 对应的高、中线、角平分线之比都等于相似比 $k$
② 对应边成比例:$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD}=k$($k$ 为相似比)
③ 周长之比 = 相似比($=k$)
④ 面积之比 = 相似比的平方($=k^2$)— 极其重要的考点!
⑤ 对应的高、中线、角平分线之比都等于相似比 $k$
⚠ 极易混淆!面积比 ≠ 相似比
若相似比 $k=2$,则边长之比是 2,但面积之比是 $2^2=4$。这是中考最经典的陷阱之一——题目给"面积比 9:4",你要立刻反应过来"相似比是 3:2"(开方)。
5.2四种判定方法
判定两个三角形相似有 4 种标准方法。和全等不同,相似不需要"边长相等",只需要"成比例"。
📋 四种判定速记
AA(两角):最常用!两个角对应相等 → 相似(因为第三角自动也相等)
SAS(两边及夹角):两组对应边成比例,且夹角相等
SSS(三边):三组对应边成比例
HL(直角三角形专属):一组斜边和直角边对应成比例
5.3AA 判定 —— 最常用的方法
由于"三角形内角和 = 180°",只要两个角对应相等,第三个角就自动相等。所以判定相似只需要找两个角即可。这是中考相似题的首选思路。
AA
两组角对应相等
5.4SAS 判定 —— 两边成比例及夹角
和全等的 SAS 相似——但是"两边相等"换成"两边成比例"。关键还是夹角。
⚡ SAS 相似判定
若 $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AC}{DF}$ 且 $\angle A = \angle D$,则 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (SAS)
5.5SSS 判定 —— 三边成比例
三组对应边成比例 → 相似。
⚡ SSS 相似判定
若 $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{CA}{FD}$,则 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (SSS)
5.6HL 判定 —— 直角三角形专属
两个直角三角形,如果斜边和一条直角边对应成比例,则相似。
🔑 第5章核心心法
相似三角形是中考压轴题最常用的工具。看到"求线段长"或"比例"问题,先想:能不能找到一对相似三角形?然后利用相似比列方程。关键口诀:"有平行,找 A 字 8 字;无平行,找公共角或对顶角"。
八大模型必背:A 字/8 字/母子/斜 A/中位线/旋转型/K 字一线三等角/蝴蝶 — 每见到相似题先扫一遍这 8 个模型。
6面积、边长、周长
这一章把三角形的所有计算技巧系统整理——不只是公式,更是"什么场景用什么方法"。掌握了这一章,几乎所有几何计算题都有清晰的解题路径。
📐 必备公式
三角形 7 大面积公式
① 底高:$S = \dfrac12 ah$
② 两边夹角:$S = \dfrac12 bc \sin A$($A$ 必须是夹角)
③ 海伦公式:$s = \dfrac{a+b+c}{2}$,$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
④ 内切圆:$S = rs = \dfrac{r(a+b+c)}{2}$ → $r = \dfrac{2S}{a+b+c}$
⑤ 外接圆:$S = \dfrac{abc}{4R}$
⑥ 铅垂法:$S = \dfrac12 \cdot \text{铅垂高} \cdot \text{水平宽}$(坐标系最常用)
⑦ 坐标公式:$S = \dfrac12 \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|$
② 两边夹角:$S = \dfrac12 bc \sin A$($A$ 必须是夹角)
③ 海伦公式:$s = \dfrac{a+b+c}{2}$,$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
④ 内切圆:$S = rs = \dfrac{r(a+b+c)}{2}$ → $r = \dfrac{2S}{a+b+c}$
⑤ 外接圆:$S = \dfrac{abc}{4R}$
⑥ 铅垂法:$S = \dfrac12 \cdot \text{铅垂高} \cdot \text{水平宽}$(坐标系最常用)
⑦ 坐标公式:$S = \dfrac12 \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|$
梯形面积
$S = \dfrac{(a+b) \cdot h}{2}$($a$、$b$ 上下底,$h$ 高);$=$ 中位线 × 高
共角三角形面积比
夹角 $A$ 公共 → $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$
等积变换
同底等高 → 面积相等;同高异底 → 面积比 $=$ 底比;同底异高 → 面积比 $=$ 高比
中线分等积
三角形任一条中线把面积分成相等两份
三角形与圆(常用)
内切圆半径 $r = \dfrac{2S}{a+b+c}$
外接圆直径 $2R = \dfrac{a}{\sin A}$(正弦定理)
直角三角形外接圆 → 直径 $=$ 斜边
圆周角定理:同弧所对圆周角相等;直径所对圆周角 $= 90°$
外接圆直径 $2R = \dfrac{a}{\sin A}$(正弦定理)
直角三角形外接圆 → 直径 $=$ 斜边
圆周角定理:同弧所对圆周角相等;直径所对圆周角 $= 90°$
$30°/45°/60°$ 三角函数表(求边长必用)
$\sin 30°=\tfrac12$,$\sin 45°=\tfrac{\sqrt2}{2}$,$\sin 60°=\tfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos 30°=\tfrac{\sqrt3}{2}$,$\cos 45°=\tfrac{\sqrt2}{2}$,$\cos 60°=\tfrac12$
$\tan 30°=\tfrac{\sqrt3}{3}$,$\tan 45°=1$,$\tan 60°=\sqrt3$
$\cos 30°=\tfrac{\sqrt3}{2}$,$\cos 45°=\tfrac{\sqrt2}{2}$,$\cos 60°=\tfrac12$
$\tan 30°=\tfrac{\sqrt3}{3}$,$\tan 45°=1$,$\tan 60°=\sqrt3$
直角三角形面积速算
$S = \dfrac{ab}{2}$(两直角边乘积一半)
等腰三角形面积
$S = \dfrac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$($a$ 腰,$b$ 底)
必记勾股数
$(3,4,5)$、$(5,12,13)$、$(8,15,17)$、$(7,24,25)$ + 倍数
直角三角形内切圆
$r = \dfrac{a+b-c}{2}$($c$ 斜边)
等腰直角周长 / 斜边关系
腰 $a$ → 斜边 $a\sqrt 2$,周长 $= (2+\sqrt 2)a$
⚠️ 易错点排查
⚠️ $\frac12 bc\sin A$ 角搞错
$A$ 必须是 $b$ 和 $c$ 的夹角,代对角直接算错
⚠️ 海伦公式 $s$ 用全周长
$s=\dfrac{a+b+c}{2}$ 是半周长,不是周长;$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
⚠️ 内切圆半径公式记错
$r=\dfrac{2S}{a+b+c}=\dfrac{S}{s}$($s$ 半周长);分母用全周长就差一半
⚠️ 外接圆"直径"vs"半径"
正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=2R$ 给的是直径($=2R$);写 $R$ 时记得除 2
⚠️ 直角三角形外接圆 = 斜边为直径
直角三角形必绕 $R=$ 斜边$/2$,常忘
⚠️ 同高 / 同底面积比
同高:面积比 $=$ 底比;同底:面积比 $=$ 高比;必须先确认同高/同底再用
⚠️ 共角面积比公式
夹角 $A$ 公共:$\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\dfrac{AD\cdot AE}{AB\cdot AC}$;两边比相乘,不是相加
⚠️ 铅垂法水平宽搞错
水平宽 $=$ 两端点横坐标差的绝对值,不是底边斜长
⚠️ 三角函数求边漏判直角
$\sin/\cos/\tan$ 用于直角三角形;非直角要先作高分成两个 Rt△ 再算
⚠️ 周长题忘三边关系验退化
算出三条边后必须验 $|a-b|
A
边长 —— 4 种求法
📋 题型速查表
📋 已知底和高
公式 1 $S = \frac{1}{2}ah$
📋 已知三边
海伦公式
📋 已知两边和夹角
公式 2 $S = \frac{1}{2}bc\sin A$
📋 三顶点坐标
坐标公式
📋 已知周长和内切圆
$S = rs$
📋 已知三边和外接圆
$S = \frac{abc}{4R}$
📋 共底/共高情况
等积变换、面积比 = 高比 或 底比
📋 相似三角形
面积比 = 相似比平方
📋 中线题
中线平分面积
📋 共角三角形
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{AD\cdot AE}{AB\cdot AC}$
📋 求斜边上的高
用 $\dfrac{ab}{c}$(双面积法 $\dfrac{ab}{2} = \dfrac{c h_c}{2}$) (§6.2)
📋 已知一锐角 + 一边求另一边
套 $\sin/\cos/\tan$;特殊角查表 (§6.3)
📋 周长比 ↔ 相似比
相等(都 $= k$);面积比是 $k^2$ — 别搞混! (§6.5 / §6.10)
📋 等腰三角形求周长
(给两边长) → 分类讨论 2 类:谁是腰 / 谁是底;每类必验三边关系 (§6.5,§2.1)
📋 动点 + 周长最小
将军饮马:作对称点,转化为两点距离 (§6.6)
📋 三顶点坐标求面积
首选铅垂法;含负数/复杂时用坐标公式 (§6.8 公式 4 / 6)
📋 面积题里有内切圆
$S = rs$($s$ 半周长);直角时 $r = \dfrac{a+b-c}{2}$ (§6.8 公式 5 / §6.13)
6.1三边关系(构造判断)
已学过(第1章 1.2 节),复习一下核心:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
⚡ 三边关系
$$|a-b| < c < a+b$$
已知两边 $a, b$ 求第三边 $c$ 的取值范围。这是中考填空题高频考点。
6.2用勾股定理求边长(直角三角形)
有直角时的首选方法。已知两边求第三边:
⚡ 勾股定理求边长
① 已知两直角边 $a, b$,求斜边 $c$:$c = \sqrt{a^2+b^2}$
② 已知斜边 $c$ 和一条直角边 $a$,求另一条直角边 $b$:$b = \sqrt{c^2-a^2}$
② 已知斜边 $c$ 和一条直角边 $a$,求另一条直角边 $b$:$b = \sqrt{c^2-a^2}$
📋 必记的勾股数
3-4-5(最常见) 及其倍数 6-8-10, 9-12-15, 15-20-25
5-12-13 及其倍数 10-24-26
8-15-17
7-24-25
20-21-29
记住这些数,选择题填空题能秒杀!
6.3用三角函数求边长(已知角)
直角三角形中,如果已知一个锐角和一条边,可以用三角函数求其他边:
⚡ 锐角三角函数
在直角三角形中,设锐角为 $\alpha$,则:
$\sin\alpha = \dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}$, $\cos\alpha = \dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$, $\tan\alpha = \dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}$
$\sin\alpha = \dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}$, $\cos\alpha = \dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$, $\tan\alpha = \dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}$
| 角度 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 30° | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{3}$ |
| 45° | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $1$ |
| 60° | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\sqrt3$ |
6.4用相似比求边长
两个相似三角形,对应边成比例。已知一个三角形的某条边和相似比,就能算出另一个三角形对应边的长度。
⚡ 相似求边长
若 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ 且相似比为 $k$,则 $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{CA}{FD} = k$
这是中考求线段长的最常用方法——压轴题里 70% 都靠这个解题。
B
周长 —— 计算与综合应用
6.5周长的基本计算
周长公式很简单——三边之和 $C = a+b+c$。但题目往往不会直接给三边,要先用勾股、相似、三角函数等方法把三边算出来。
📋 周长题的典型套路
等腰/等边三角形:周长 = $2 \times \text{腰} + \text{底}$(等腰)或 $3 \times \text{边}$(等边)
直角三角形:已知两边用勾股定理求第三边,再相加
相似三角形周长比:等于相似比 $k$(不是 $k^2$,注意区分面积比)
等腰三角形分类讨论:已知两边长 $3, 7$,不知谁是腰谁是底 → 必须分两种情况算周长,但要验证三边关系
6.6周长综合题
周长综合题最经典的一类是"动点+周长最小值"问题——通过对称、平移等方法求动点路径的最短长度。
📋 经典考点
翻折后求周长:翻折前后对应边相等,常配合等腰
三角形周长最小:利用"将军饮马"模型,做对称点求最短路径
已知周长求边长:常结合面积或角度其他条件,列方程求解
等比例三角形(相似)周长比:开方求相似比 → 求未知边
含未知数的等腰三角形:讨论"哪条边是腰"
整数边长问题:用三边关系限定取值范围,枚举
6.7坐标系版 · 已知三顶点求周长 / 判断形状
给出三角形三个顶点的坐标，要求周长或判断形状（等腰？等边？直角？），统一的方法是：先用距离公式算出三条边长，再比较。
必考
求三角形三边长并判断形状
例题：已知三角形三个顶点 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(1,3)$，求三条边长。
解题思路
AB（水平边）：$A$、$B$ 纵坐标都是 0，直接相减 $|4-0|=4$。
AC：$\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
BC：$\sqrt{(1-4)^2+(3-0)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt2$。
周长：$4+\sqrt{10}+3\sqrt2$。
三边都不相等 → 这是不等边三角形。判断形状的关键就是比较三条边长：两边相等→等腰；三边相等→等边；满足勾股→直角。
C
面积 —— 6 大公式 + 5 类技巧
6.8面积的 6 种公式
三角形面积公式不止"底乘高除以二"——根据已知条件不同,有6 种公式可用,选对一个能省一半时间。
公式 1
底 × 高 ÷ 2 (最基础)
公式 2
两边及夹角(高中预习,有些教材已涉及)
⚡ 公式 3:海伦公式(已知三边)
设 $s = \dfrac{a+b+c}{2}$(半周长),则 $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
只知三边长(不知高也不知角)时,海伦公式是唯一选择。计算稍复杂,但思路清晰。
⚡ 公式 4:坐标公式(已知三顶点坐标)
三顶点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$ 的三角形面积:
$S = \dfrac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
$S = \dfrac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
坐标系中三角形面积的"万能公式"。在二次函数压轴题里经常用。
公式 5
内切圆半径公式
⚡ 公式 6:外接圆公式
$S = \dfrac{abc}{4R}$ 其中 $R$ 是外接圆半径
常用于"三角形外接圆"相关问题,反过来可以求外接圆半径 $R = \dfrac{abc}{4S}$。
6.9等积变换(同底等高)
等积变换是中考压轴题最优雅的技巧——通过"等积代换"把难求的三角形变成好求的。
同底等高
顶点在平行线上 → 面积相等
📋 等积变换的常见用法
顶点平移法:沿平行于底的直线平移顶点,面积不变
中线分等积:三角形中线把三角形分成两个等积三角形(共同的底是中点,高相同)
对角线分等积:平行四边形的对角线把它分成两个等积三角形
面积换底:同一个三角形可以用不同的边当底,得到不同的高,但面积值相同。常用于反向求高
梯形等积:梯形对角线分成的两个三角形(贴着两腰那两个)面积相等
6.10面积比与相似比(核心考点!)
这是中考面积题最大的陷阱也是最大的得分点——必须烂熟于心。
⚡ 三大比例关系(必背)
若 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$,相似比为 $k$:
① 对应边比 = $k$
② 周长比 = $k$
③ 面积比 = $k^2$(平方!)
① 对应边比 = $k$
② 周长比 = $k$
③ 面积比 = $k^2$(平方!)
⚠ 极易踩坑!反过来题
题目"面积比 9:4 求边长比"——别直接抄答案!要开方得 $\sqrt{9}:\sqrt{4} = 3:2$。
题目"周长比 3:2,求面积比"——周长比就是相似比,直接平方得 9:4。
规则:边长比、周长比、相似比 = 同一个数 $k$;面积比 = $k^2$。
6.11中线、角平分线分面积
中线
中线平分面积
⚡ 角平分线分面积
$\triangle ABC$ 中,若 $AD$ 是 $\angle A$ 的平分线,则 $\dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \dfrac{AB}{AC}$
原理:两个小三角形共顶点 $A$,$A$ 到 $BD$ 和 $DC$ 的距离一样(都是 $A$ 到 $BC$ 的高),所以面积比 = 底边比 = $\dfrac{BD}{DC}$;再由角平分线定理 $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$。
6.12共边/共角三角形的面积比
这是一组"非相似但有关系"的三角形面积比公式,中考压轴题里特别有用。
⚡ 共底(共边)三角形
$\triangle ABC$ 和 $\triangle DBC$ 共用底 $BC$,则 $\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBC}} = \dfrac{h_1}{h_2}$($h_1, h_2$ 分别是 $A, D$ 到 $BC$ 的距离)
⚡ 共角三角形
$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 共角 $\angle A$(且 $D$ 在 $AB$ 上,$E$ 在 $AC$ 上),则:
$\dfrac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \dfrac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$
$\dfrac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \dfrac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$
这个公式威力极大——只要知道两边比例就能算面积比,不需要算高。
6.13内切圆、外接圆与面积
圆与三角形结合的面积题,需要熟记几个关键公式:
📋 关键公式
内切圆半径:$r = \dfrac{2S}{\text{周长}} = \dfrac{2S}{a+b+c}$
直角三角形内切圆半径:$r = \dfrac{a+b-c}{2}$($c$ 为斜边)
外接圆半径:$R = \dfrac{abc}{4S}$
直角三角形外接圆半径:$R = \dfrac{c}{2}$(斜边的一半)
等边三角形(边长 $a$):内切圆半径 $r = \dfrac{\sqrt3}{6}a$,外接圆半径 $R = \dfrac{\sqrt3}{3}a$
两者关系:等边三角形中 $R = 2r$(外接圆半径是内切圆半径的 2 倍)
D
综合应用 —— 典型题型
6.14面积综合题精讲
面积比
典型 1:相似比/面积比的反向应用
例题:$\triangle ABC \sim \triangle DEF$,且 $\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEF}} = \dfrac{9}{16}$,$\triangle ABC$ 周长为 18,求 $\triangle DEF$ 周长。
解题思路
第1步:由面积比反推相似比——面积比 = 相似比²,所以相似比 $k = \sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4}$。
第2步:周长比 = 相似比 = $\dfrac{3}{4}$。
第3步:设 $\triangle DEF$ 周长为 $C$,则 $\dfrac{18}{C} = \dfrac{3}{4}$,解得 $C = 24$。
关键:面积比开方得相似比,相似比就是周长比。三个比例(边长比、周长比、相似比)是同一个值,面积比是它们的平方。
等积变换
典型 2:利用等积变换求面积
例题:三角形 $ABC$ 面积为 12,$D$ 是 $BC$ 的中点,$E$ 是 $AD$ 的中点。求 $\triangle BEC$ 的面积。
解题思路
关键观察:$BE$ 和 $CE$ 都从 $E$ 出发到底边 $BC$ 的两端,所以 $\triangle BEC$ 的底就是 $BC$。
第1步:$E$ 是 $AD$ 中点 → $E$ 到 $BC$ 的距离 = $A$ 到 $BC$ 距离的一半。
第2步:$\triangle BEC$ 和 $\triangle BAC$ 共底 $BC$,但 $E$ 的高只有 $A$ 高的一半。
第3步:所以 $S_{\triangle BEC} = \dfrac{1}{2} \cdot S_{\triangle BAC} = \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 6$。
套路:看到中点找"半"——中点意味着面积、长度的"一半关系"。这是高频考点。
共角
典型 3:共角三角形面积比
例题:$\triangle ABC$ 中,$D$ 在 $AB$ 上,$E$ 在 $AC$ 上,$AD = 2$,$DB = 3$,$AE = 4$,$EC = 2$。求 $\dfrac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}$。
解题思路
识别模型:$\triangle ADE$ 和 $\triangle ABC$ 共角 $\angle A$。
套公式:$\dfrac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \dfrac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$
代数:$AB = AD + DB = 2+3=5$;$AC = AE + EC = 4+2=6$。
$\dfrac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \dfrac{2 \times 4}{5 \times 6} = \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15}$
套路:这道题不需要算具体面积或高,直接用"共角面积比公式"秒杀。是中考填空选择题的常客。
综合
典型 4:勾股 + 面积换底求高
例题:直角三角形两条直角边分别为 6 和 8,求斜边上的高。
解题思路
第1步:用勾股定理求斜边:$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$。
第2步:用两种方式算面积——
方式一(以两直角边为底高):$S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$。
方式二(以斜边为底,设斜边上高为 $h$):$S = \dfrac{1}{2} \times 10 \times h$。
第3步:两式相等 → $\dfrac{1}{2} \times 10 \times h = 24$ → $h = 4.8$。
套路:"面积换底"——同一个三角形,面积只有一个值,但可以用不同的边作底来表达。已知一边对应的高时,可以用面积反推另一边对应的高。
🔑 第6章核心心法
面积题的核心是"选对公式"——根据已知条件(边、角、高、坐标、圆)选最直接的公式。5 种常用公式 + 5 类等积技巧覆盖了 99% 的考题。
关键陷阱:面积比 = 相似比的平方(不是相似比本身),反向问题要记得开方。中点几乎总意味着"减半"。
7在坐标系中
坐标系里的三角形是中考压轴大题的核心题型——把代数和几何揉在一起,既考函数也考几何。这一章专注于"三角形与函数图象结合"的解题方法,核心是设点—列方程—解的套路。
📐 必备公式
两点距离
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
线段中点
$M = \left( \dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2} \right)$
直线斜率
$k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$($x_1 \neq x_2$;否则斜率不存在,直线竖直)
直线方程
点斜式:$y - y_1 = k(x - x_1)$
斜截式:$y = kx + b$
水平线:$y = $ 常数;竖直线:$x = $ 常数
斜截式:$y = kx + b$
水平线:$y = $ 常数;竖直线:$x = $ 常数
两直线垂直
$k_1 \cdot k_2 = -1$(都不竖直时)
两直线平行
$k_1 = k_2$($b$ 不同)
直线上线段
$|AB| = \sqrt{1+k^2} \cdot |x_2-x_1|$(直接算斜距)
动点设法(核心)
动点在直线 $y=kx+b$ 上 → $P(t, kt+b)$;在抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 上 → $P(t, at^2+bt+c)$
找等腰 3 类
$PA=PB$、$AP=AB$、$BP=BA$
找直角 3 类
直角在 $A$ / 在 $B$ / 在 $P$;前两类用 $k_1 k_2 = -1$,第三类用圆轨迹(以已知边为直径)
铅垂高代替距离
点 $P$ 到直线 $BC$ 距离 $\propto$ 铅垂高 $h = y_P - y_D$(过 $P$ 作竖直线交 $BC$ 于 $D$)
铅垂法面积公式
$S_{\triangle} = \dfrac12 \cdot w \cdot h$,$w$ 水平宽($x$ 投影差),$h$ 铅垂高(过中间顶点作竖直线交对边)
坐标法面积公式
$S = \dfrac12 \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|$
找等边三角形
在等腰 3 类基础上再加 $|PA|=|AB|$(三边都等);坐标法常用绕中点旋转 $60°$
动点参数法
抛物线上 $P(t, at^2+bt+c)$;直线上 $P(t, kt+b)$;轴上 $P(t, 0)$ 或 $(0, t)$
将军饮马模型
轴或直线上找 $P$ 使 $|PA|+|PB|$ 最小 → 作 $A$ 关于轴对称点 $A^{\prime}$,连 $A^{\prime}B$ 与轴交点即为 $P$
⚠️ 易错点排查
⚠️ 动点参数 $t$ 没写范围
抛物线段 $0\le t\le 3$、$x$ 轴段 $0
⚠️ 象限 / 一侧条件没用上
"在第一象限" / "在直线下方"是隐藏限制,解后必须回带验
⚠️ 距离公式漏平方根 / 平方
$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$,减完忘平方或忘开方都常错
⚠️ 找等腰漏类
已知两点 $A$、$B$ 找第三点 $P$ 使 $\triangle PAB$ 等腰 → 3 类:$PA=PB$ / $AP=AB$ / $BP=BA$,各列方程取并集
⚠️ 找直角漏类
3 类:直角在 $A$ / 在 $B$ / 在 $P$;前两类用斜率积 $=-1$,第三类用圆轨迹(以 $AB$ 为直径)
⚠️ 找相似没分类对应
两三角形相似 → 顶点对应有 2-6 种,常各列一组方程
⚠️ 面积不用铅垂法绕远
三顶点不在水平边时用铅垂法 $S=\frac12\cdot$ 铅垂高 $\cdot$ 水平宽 → 直接关于 $t$ 二次函数 → 顶点求最值
⚠️ 解出 $P$ 与 $A$ 或 $B$ 重合
退化为线段,必须舍掉;不舍直接错
⚠️ 将军饮马没作对称点
求"和最小"必须先把一点对称到对侧,连对称点 + 另一点取交点,直接量距离没法用
⚠️ 抛物线对称轴上点天生等腰
对称轴上任意点到对称两点距离相等,选填秒答
📋 题型速查表
📋 求坐标系三角形面积
铅垂法(首选)或割补法
📋 找 P 使 △PAB 是等腰
3 种情况:PA=PB / AP=AB / BP=BA
📋 找 P 使 △PAB 是直角
3 种情况:直角在 P / 在 A / 在 B
📋 找 P 使 △PAB 是等腰直角
等腰条件 + 直角条件,联立
📋 找 P 使 △PAB 是等边
三边相等 + 60° 角,联立
📋 求三角形周长最小
将军饮马,作对称点
📋 找点使两线段差最大
三角形不等式,延长辅助线
📋 动点设坐标
用 1 个参数 $t$ 表示动点,其他几何条件转化为关于 $t$ 的方程
📋 坐标系三角形面积
铅垂法(首选,无需求高);三顶点都已知 → 坐标公式;含未知数 → 含参铅垂法 (§7.2)
📋 抛物线上找 P 使 $\triangle PAB$ 等腰
用 $P(t, at^2+bt+c)$ 代入,分 3 类 $PA=PB$ / $AP=AB$ / $BP=BA$,联立解 $t$ (§7.3)
📋 抛物线上找 P 使 $\triangle PAB$ 直角
分 3 类直角顶点;直角在 $A$/$B$ 用 $k_1 k_2 = -1$,直角在 $P$ 用圆轨迹(以 $AB$ 为直径)或 $\vec{PA}\cdot\vec{PB}=0$ (§7.4)
📋 轴上找 P 使周长最小
将军饮马:作 $A$ 关于轴对称 $A^{\prime}$,连 $A^{\prime}B$ 与轴交点 (§7.5 / §6.6)
📋 对称变换求点坐标
关于 $x$ 轴 $(x,-y)$;$y$ 轴 $(-x,y)$;原点 $(-x,-y)$;$y=x$ $(y,x)$ (§7.5,关联 §8.4)
7.1三角形顶点在函数图象上
压轴题最常见的设定:三角形的某个顶点是动点,在某条直线、抛物线或双曲线上滑动。解题核心是用一个未知数表示动点坐标。
📋 三种常见动点设法
动点在 x 轴上 → 设 $P(t, 0)$,1 个未知数
动点在直线 $y=kx+b$ 上 → 设 $P(t, kt+b)$,只 1 个未知数
动点在抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 上 → 设 $P(t, at^2+bt+c)$
核心技巧:无论曲线多复杂,动点都用1 个参数表示——其他条件转化为关于这个参数的方程
7.2坐标系中三角形面积(铅垂法 + 割补法)
坐标系中三角形顶点位置任意,经常没有"水平/竖直"的边作底,直接用"底×高"很难。这时有两个杀手锏:铅垂法和割补法。
铅垂法
过一个顶点作竖直线截另一边
⚡ 铅垂法面积公式(必背)
$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \times \text{铅垂高} \times \text{水平宽度}$
铅垂高:过一个顶点作 $y$ 轴的平行线,这条线在三角形内的部分长度。
水平宽度:另外两个顶点的横坐标之差的绝对值。
优势:不用算斜边长度或角度,纯坐标计算,适用于任意三角形。
水平宽度:另外两个顶点的横坐标之差的绝对值。
优势:不用算斜边长度或角度,纯坐标计算,适用于任意三角形。
割补法
补一个外接矩形,减去 3 个直角小三角形
⚡ 割补法面积公式(铅垂法不便时备用)
$S_{\triangle ABC} = (x_{\max} - x_{\min})(y_{\max} - y_{\min}) - S_1 - S_2 - S_3$
外接矩形:横坐标 min/max + 纵坐标 min/max 围成,边平行坐标轴。
3 个直角小三角形:每个直角边都是横/纵坐标差,直接读数,不算斜边。
优势:三角形顶点都不在轴上、过任一顶点的铅垂线在三角形外时,割补法是永远兜底的方法。
3 个直角小三角形:每个直角边都是横/纵坐标差,直接读数,不算斜边。
优势:三角形顶点都不在轴上、过任一顶点的铅垂线在三角形外时,割补法是永远兜底的方法。
📋 割法 vs 补法 · 什么时候用
补法(本例):把三角形"补"成最小外接矩形,矩形面积减去 3 个直角小三角形。最常用。
割法:把三角形分成几个直角小三角形(过一个顶点作水平/竖直线分割),分别算后相加。适合三角形横跨多个象限的情况。
什么时候用割补法:三个顶点都不在坐标轴上、过任一顶点的铅垂线在三角形外、三角形横跨多个象限 → 铅垂法不便,用割补法。
7.3函数图象上的等腰三角形(必考分类讨论)
"在某条线上找一个点 $P$,使 $\triangle PAB$ 是等腰三角形"——这是中考压轴题必考的分类讨论题。关键是分清"谁是顶点谁是底",通常有 3 种情况。
⚡ 等腰三角形 3 种情况(必背!)
已知 $A$、$B$ 两点,在某线上找 $P$ 使 $\triangle PAB$ 为等腰三角形:
情况①:$PA = PB$ —— $P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上(把 $AB$ 当底)
情况②:$AP = AB$ —— $P$ 在以 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径的圆上(以 $A$ 为顶点)
情况③:$BP = BA$ —— $P$ 在以 $B$ 为圆心、$BA$ 为半径的圆上(以 $B$ 为顶点)
情况①:$PA = PB$ —— $P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上(把 $AB$ 当底)
情况②:$AP = AB$ —— $P$ 在以 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径的圆上(以 $A$ 为顶点)
情况③:$BP = BA$ —— $P$ 在以 $B$ 为圆心、$BA$ 为半径的圆上(以 $B$ 为顶点)
3种情况
已知 A(2,0), B(0,4),在 x 轴上找 P
⚠ 极易漏解的"陷阱点"
每种情况都可能产生多个解,而且要排除退化情况:
① 当 $P$ 落到与 $A$ 或 $B$ 重合时——不构成三角形,要舍去
② 当 $P$、$A$、$B$ 三点共线时——不构成三角形,要舍去
中考压轴题最爱在这里扣分——少答一个情况就丢分。
7.4函数图象上的直角三角形(分类讨论)
类似等腰三角形——"找 $P$ 使 $\triangle PAB$ 为直角三角形",也要分情况:直角在哪个顶点?
⚡ 直角三角形 3 种情况
情况①:$\angle PAB = 90°$ —— $PA \perp AB$($P$ 在过 $A$ 且垂直 $AB$ 的直线上)
情况②:$\angle PBA = 90°$ —— $PB \perp AB$($P$ 在过 $B$ 且垂直 $AB$ 的直线上)
情况③:$\angle APB = 90°$ —— $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上(圆周角定理)
情况②:$\angle PBA = 90°$ —— $PB \perp AB$($P$ 在过 $B$ 且垂直 $AB$ 的直线上)
情况③:$\angle APB = 90°$ —— $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上(圆周角定理)
3 种轨迹
已知 A(2,0), B(0,4),P 的可能位置
📋 解题套路
用斜率关系:两直线垂直 ⟺ 斜率乘积 = $-1$($k_1 \cdot k_2 = -1$)
用勾股定理:验证 $|PA|^2+|AB|^2=|PB|^2$ 等三组情况
情况③技巧:以 $AB$ 中点为圆心、$\frac{|AB|}{2}$ 为半径作圆,$P$ 在这个圆上(直径所对圆周角是直角)
不要漏解:三种情况都要讨论,每种可能产生 1-2 个解
7.5三角形 + 对称变换
对称变换会产生"将军饮马"类经典题型——求三角形周长最小、求线段和最小等。
⚡ 将军饮马模型(经典最小值)
问题:在直线 $l$ 上找一点 $P$,使 $PA+PB$ 最小($A$、$B$ 在 $l$ 同侧)。
方法:作 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A'$,连 $A'B$,与 $l$ 交点即为 $P$。
最小值:$PA+PB = A'B$(两点之间线段最短)
方法:作 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A'$,连 $A'B$,与 $l$ 交点即为 $P$。
最小值:$PA+PB = A'B$(两点之间线段最短)
将军饮马
作对称点 → 化"折"为"直"
📋 对称变换变形题
三角形周长最小:三角形一个顶点动,在某直线上;另两个顶点固定 → 用将军饮马
四边形周长最小:两个动点,两次对称
折叠+三角形:折叠后对应边相等,常配合勾股定理求解
抛物线对称轴+等腰:抛物线对称轴上的点到对称的两点距离相等,自带等腰
🔑 第7章核心心法
坐标系三角形题的万能套路是:① 用 1 个参数 $t$ 表示动点;② 把几何条件(等腰、直角、相似、面积等)转化为关于 $t$ 的方程;③ 解方程并排除退化情况。
分类讨论是这一章的灵魂——等腰 3 类、直角 3 类,相似多类,每类列一组方程,最后合并答案。少一个就丢分!
8旋转
旋转是中考压轴几何题的核心工具。先理解旋转的两条不变性质(距离不变、角等于旋转角),再掌握 $90°$ 的坐标口诀和 $30°/45°/60°$ 的特殊角技巧,最后是手拉手 / 半角 / 旋转型相似三大模型。(动点专题独立成「几何·动点」页面。)
📐 必备公式
旋转三要素
① 旋转中心(不动的点);② 旋转角(对应点跟中心连线的夹角);③ 旋转方向(顺/逆)
旋转四不变性质
① 到旋转中心距离不变;② 对应线段相等;③ 对应角相等;④ 对应点连线扫过的角 $=$ 旋转角
绕原点 $90°$ 口诀
逆时针 $(x, y) \to (-y, x)$
顺时针 $(x, y) \to (y, -x)$
顺时针 $(x, y) \to (y, -x)$
$180°$ / 关于原点对称
$(x, y) \to (-x, -y)$
翻折规律
关于 $x$ 轴:$(x, y) \to (x, -y)$($y$ 变号)
关于 $y$ 轴:$(x, y) \to (-x, y)$($x$ 变号)
关于直线 $y = m$:$(x, y) \to (x, 2m - y)$
关于直线 $x = a$:$(x, y) \to (2a - x, y)$
关于直线 $y = x$:$(x, y) \to (y, x)$
关于 $y$ 轴:$(x, y) \to (-x, y)$($x$ 变号)
关于直线 $y = m$:$(x, y) \to (x, 2m - y)$
关于直线 $x = a$:$(x, y) \to (2a - x, y)$
关于直线 $y = x$:$(x, y) \to (y, x)$
旋转特殊角 + 等长
旋转 $60°$ + $OA = OA'$ → $\triangle OAA'$ 等边($AA' = OA$)
旋转 $90°$ + $OA = OA'$ → $\triangle OAA'$ 等腰直角($AA' = OA \sqrt 2$)
旋转 $\theta$ + $OA = OA'$ → 顶角 $\theta$ 等腰($AA' = 2 OA \sin\dfrac{\theta}{2}$)
旋转 $90°$ + $OA = OA'$ → $\triangle OAA'$ 等腰直角($AA' = OA \sqrt 2$)
旋转 $\theta$ + $OA = OA'$ → 顶角 $\theta$ 等腰($AA' = 2 OA \sin\dfrac{\theta}{2}$)
复合变换
分步处理,顺序不可交换
手拉手模型(共顶点等腰旋转)
两等腰共顶点 $O$,$OA = OC$,$OB = OD$,$\angle AOB = \angle COD$ → $\triangle AOB \cong \triangle COD$($SAS$)→ $AB = CD$;对应连线必产生第二对相似 / 全等
共顶点旋转型相似
$\angle BAC = \angle DAE$ + $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$ → $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ → 自动 $\triangle ABD \sim \triangle ACE$
等边内点 3-4-5 经典结论
等边内一点到三顶点距离为 $3, 4, 5$ → 绕一顶点旋转 $60°$ → 得 $\angle APB = 60° + 90° = 150°$;面积 = $9 + 4\sqrt 3$
旋转 + 中点
对应中点连线扫过 $\dfrac{\theta}{2}$ 角;原图与新图对称中心 = 旋转中心
⚠️ 易错点排查
⚠️ 旋转方向看反
顺时针 / 逆时针易混;SVG 坐标 $y$ 向下,数学坐标 $y$ 向上,口诀按数学坐标记
⚠️ 90° 旋转口诀记反
绕原点逆时针:$(x,y)\to(-y,x)$;顺时针:$(x,y)\to(y,-x)$
⚠️ 180° 旋转 / 中心对称
$(x,y)\to(-x,-y)$;绕非原点旋转 180° 要先平移再变号
⚠️ 非原点旋转漏平移
绕点 $(a,b)$ 旋转 $\theta$:先平移 $-(a,b)$ → 绕原点旋转 → 再平移 $+(a,b)$
⚠️ 旋转后没标"对应"
旋转是全等变换,对应边等、对应角等、旋转角 $=$ 任一对应点连接旋转中心的夹角
⚠️ 共顶点旋转漏"第二对相似"
一对共顶点相似 $\triangle ABC\sim\triangle ADE$ → 必产生 $\triangle ABD\sim\triangle ACE$,常忘用
⚠️ 等腰绕顶点旋转 → 手拉手
等腰 $AB=AC$ 绕 $A$ 旋转得 $AB'=AC'$ → $\triangle ABB'\cong\triangle ACC'$ → $BB'=CC'$
⚠️ 等边内点 3-4-5 套路漏用
等边内一点 $P$ 满足 $PA:PB:PC=3:4:5$:绕一顶点旋转 $60°$ → 等边 $\triangle BPP'$ + 直角 $\triangle CPP'$ → $\angle APB=150°$
⚠️ "旋转 + 等长 = 等腰特殊"
旋转 $60°$ + 两段等长 = 等边;旋转 $90°$ + 等长 = 等腰直角;旋转 $120°$ + 等长 = 顶角 $120°$ 等腰
⚠️ 旋转角不固定漏分类
题面"将 $\triangle ABC$ 旋转某角度"未指明 → 按旋转角分类讨论(锐角 / 钝角 / 重合等)
📋 题型速查表
📋 读旋转题第一步
找三要素:① 旋转中心(没动的点);② 旋转角(任意对应点 + 中心 连线的夹角);③ 旋转方向(顺 / 逆) (§8.1)
📋 求旋转后线段长 / 角度
旋转保距 + 保形 + 保角:对应边等,对应角等 (§8.2)
📋 点 $P(x,y)$ 绕原点逆时针旋转 90°
口诀 $(x,y) \to (-y, x)$ (§8.4,题库旋转专题 1)
📋 点 $P(x,y)$ 绕原点顺时针旋转 90°
口诀 $(x,y) \to (y, -x)$ (§8.4)
📋 旋转 180° / 关于原点对称
$(x,y) \to (-x, -y)$ (§8.4)
📋 旋转 30°/45°/60° 求新坐标
三步法:① 定长度 $|OA|$;② 作垂线分解;③ 套特殊角 $\sin/\cos$ (§8.4,题库旋转专题 2)
📋 关于 $x$ 轴翻折
$(x,y) \to (x, -y)$;关于 $y$ 轴翻折 → $(x,y) \to (-x, y)$ (§8.4)
📋 复合变换(旋转 + 翻折)
分步处理,顺序不可交换 (§8.4,题库旋转专题 3)
📋 看到「旋转 $60°$ + 等长」
立刻等边三角形!直接读出 $AA' = OA$ (§8.3,题库旋转专题 4)
📋 看到「旋转 $90°$ + 等长」
等腰直角三角形,$AA' = OA \cdot \sqrt 2$ (§8.3)
📋 看到「旋转 $\theta$ + 等长」(一般)
顶角 $\theta$ 等腰三角形,$AA' = 2 OA \sin(\theta / 2)$ (§8.3)
📋 等腰 $\triangle ABC$ 绕顶 $A$ 旋转
自动产生全等 $\triangle ABB' \cong \triangle ACC'$ → $BB' = CC'$(与旋转角无关) (§8.5,题库旋转专题 5)
📋 双共顶点三角形 + $\angle BAC = \angle DAE$ + 边比相等
旋转型相似;必产生第二对相似 $\triangle ABD \sim \triangle ACE$ (§8.5,题库旋转专题 6 / 相似模型 5)
📋 双等边共顶点(手拉手模型)
绕共顶点旋转 $60°$ → SAS 全等 → $AD = BE$ (§8.5,题库全等模型 5)
📋 等边三角形内一点 + 三段距离 $3, 4, 5$
绕某顶点旋转 $60°$ → 等边 $\triangle BPP'$ + 直角 $\triangle CPP'$ → $\angle APB = 60° + 90° = 150°$ (§8.6,题库旋转专题 7)
📋 读旋转题先标
O(中心) / θ(角度) / 方向(顺/逆);在图上画箭头 (§8.1)
📋 看到「两等腰共顶点」
手拉手模型:必有 $\triangle AOB \cong \triangle COD$(SAS) → $AB = CD$;旋转角 = 顶角 (§8.5,题库全等模型 5)
📋 看到「共顶点 + 角等 + 边比等」
旋转型相似;先证 $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ → 自动 $\triangle ABD \sim \triangle ACE$ (§8.5 / 相似模型 5)
📋 等边三角形内一点 + 已知 3 段距离
绕某顶点旋转 $60°$;3-4-5 时 $\angle = 150°$ (§8.6)
📋 题目里出现「旋转后求面积 / 距离」
优先用「旋转保距 + 对应等量」,而不是直接算坐标 (§8.2)
8.1旋转的定义与三要素
旋转 = 把图形上每个点都绕同一个定点转动同一个角度,转动方向相同(顺时针 / 逆时针)。读旋转题第一步:把三要素找全。
🔑 旋转三要素
① 旋转中心 $O$ — 不动的那个点(从图里找没动的点,常是某顶点或原点)
② 旋转角 $\theta$ — 任意一对对应点 $A$、$A'$ 跟中心 $O$ 形成的 $\angle AOA' = \theta$
③ 旋转方向 — 顺时针 / 逆时针(图里看箭头,题里看文字)
② 旋转角 $\theta$ — 任意一对对应点 $A$、$A'$ 跟中心 $O$ 形成的 $\angle AOA' = \theta$
③ 旋转方向 — 顺时针 / 逆时针(图里看箭头,题里看文字)
8.2旋转的四条不变性质
三要素一旦确定,以下四条性质就自动成立 — 是所有旋转题的共同抓手。
⚡ 旋转四条不变性质(必背)
$\triangle ABC$ 绕点 $O$ 旋转 $\theta$ 角 → 得 $\triangle A'B'C'$:
① 到旋转中心距离不变(保距):$OA = OA'$, $OB = OB'$, $OC = OC'$
② 对应线段不变(保长):$A'B' = AB$, $B'C' = BC$, $C'A' = CA$
③ 对应角不变(保形):旋转前后图形全等,形状不变
④ 对应点连线扫过的角 = 旋转角:$\angle AOA' = \angle BOB' = \angle COC' = \theta$
① 到旋转中心距离不变(保距):$OA = OA'$, $OB = OB'$, $OC = OC'$
② 对应线段不变(保长):$A'B' = AB$, $B'C' = BC$, $C'A' = CA$
③ 对应角不变(保形):旋转前后图形全等,形状不变
④ 对应点连线扫过的角 = 旋转角:$\angle AOA' = \angle BOB' = \angle COC' = \theta$
8.3三大特殊角口诀
中考压轴的旋转题里,旋转角几乎都是 $60°$、$90°$、$180°$ 中的一个。识别旋转角 + 旋转保距 → 立刻得到等边 / 等腰直角 / 中心对称。
🎯 旋转 + 等长 = 特殊三角形
① 旋转 $60°$ + 等长 → $\triangle OAA'$ 是等边三角形(对应题库专题 4)
② 旋转 $90°$ + 等长 → $\triangle OAA'$ 是等腰直角三角形($AA' = OA \cdot \sqrt 2$)(对应题库专题 1)
③ 旋转 $180°$ → 直接中心对称($A'$ 是 $A$ 关于 $O$ 的对称点)
④ 旋转 $\theta$ + 等长 → 顶角 $\theta$ 等腰三角形,$AA' = 2 OA \sin(\theta/2)$
② 旋转 $90°$ + 等长 → $\triangle OAA'$ 是等腰直角三角形($AA' = OA \cdot \sqrt 2$)(对应题库专题 1)
③ 旋转 $180°$ → 直接中心对称($A'$ 是 $A$ 关于 $O$ 的对称点)
④ 旋转 $\theta$ + 等长 → 顶角 $\theta$ 等腰三角形,$AA' = 2 OA \sin(\theta/2)$
8.4坐标系下的旋转口诀
点 $P(x, y)$ 绕原点旋转,新坐标可以直接套口诀得到 — 不用算三角函数。$30°/45°/60°$ 需要三步法(定长度 + 作垂线 + 套特殊角)。
📐 绕原点旋转的坐标口诀
① 逆 $90°$:$(x, y) \to (-y, x)$
② 顺 $90°$:$(x, y) \to (y, -x)$
③ $180°$(或关于原点对称):$(x, y) \to (-x, -y)$
④ 关于 $x$ 轴翻折:$(x, y) \to (x, -y)$
⑤ 关于 $y$ 轴翻折:$(x, y) \to (-x, y)$
⑥ 复合变换(旋转 + 翻折):分步处理,顺序不可交换!
② 顺 $90°$:$(x, y) \to (y, -x)$
③ $180°$(或关于原点对称):$(x, y) \to (-x, -y)$
④ 关于 $x$ 轴翻折:$(x, y) \to (x, -y)$
⑤ 关于 $y$ 轴翻折:$(x, y) \to (-x, y)$
⑥ 复合变换(旋转 + 翻折):分步处理,顺序不可交换!
8.5共顶点旋转 → 产生全等 / 相似
双三角形共顶点 + 旋转 → 自动产生第二对全等(或相似)三角形。这是中考压轴最爱考的"暗藏"套路 — 不主动找就漏分。
🔄 双三角形共顶点旋转的两种模型
模型 1 · 等腰旋转 → 全等(对应题库专题 5)
$\triangle ABC$ 等腰($AB = AC$)绕 $A$ 旋转 $\theta$ 得 $\triangle AB'C'$ → $\triangle ABB' \cong \triangle ACC'$($BB' = CC'$,与 $\theta$ 无关)
模型 2 · 共顶点 SAS 相似(对应题库专题 6)
$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 共顶点 $A$,$\angle BAC = \angle DAE$ 且 $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$ → $\triangle ABD \sim \triangle ACE$
$\triangle ABC$ 等腰($AB = AC$)绕 $A$ 旋转 $\theta$ 得 $\triangle AB'C'$ → $\triangle ABB' \cong \triangle ACC'$($BB' = CC'$,与 $\theta$ 无关)
模型 2 · 共顶点 SAS 相似(对应题库专题 6)
$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 共顶点 $A$,$\angle BAC = \angle DAE$ 且 $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$ → $\triangle ABD \sim \triangle ACE$
8.6等边内点 3-4-5 经典压轴模型
这是中考最经典的旋转应用 — 等边三角形内一点 $P$ 到三顶点距离 $PA = 3, PB = 4, PC = 5$,求 $\angle APB$。套路:绕顶点旋转 $60°$ 把零散三段拼成等边 + 直角三角形,直接出 $\angle APB = 150°$。
🎯 等边内点 3-4-5 的 4 步法
① 识别配置:等边 $\triangle ABC$ 内一点 $P$,三段距离 $3 / 4 / 5$
② 选旋转中心:绕某个顶点(如 $B$)旋转 $60°$
③ 产生等边:旋转中心 + 旋转前后对应点 → 等边三角形($\triangle BPP'$,边长 $= BP$)
④ 3-4-5 凑直角:新三角形 $\triangle CPP'$ 三边 $3, 4, 5$ → 直角!
⑤ 求怪角:$\angle APB = 60°(\text{等边}) + 90°(\text{直角}) = 150°$(对应题库专题 7)
② 选旋转中心:绕某个顶点(如 $B$)旋转 $60°$
③ 产生等边:旋转中心 + 旋转前后对应点 → 等边三角形($\triangle BPP'$,边长 $= BP$)
④ 3-4-5 凑直角:新三角形 $\triangle CPP'$ 三边 $3, 4, 5$ → 直角!
⑤ 求怪角:$\angle APB = 60°(\text{等边}) + 90°(\text{直角}) = 150°$(对应题库专题 7)
🔑 旋转章核心心法
旋转的本质 = 「距离不变 + 角度叠加」。无论是单点旋转(求新坐标)、双三角形旋转(手拉手/旋转型相似)、还是等边内点,核心抓手都是「旋转保距」+「旋转角等于对应点连线扫过的角」 — 找到旋转中心 + 旋转角,自然能凑出全等(SAS)、相似(SAS 相似)、特殊三角形。
对应题库:第8章「旋转」7 道专题全覆盖,从坐标变换基础到等边内点压轴。
9三角形与圆
三角形与圆是中考几何的「双星」 — 外接圆（经过三顶点）和内切圆（与三边相切）是核心。本章把外心 / 内心、外接圆 / 内切圆的定义、存在性、公式系统整理，并按「一般 → 直角 → 等边」三层结构，把特殊三角形的简化公式都覆盖。
📐 必备公式
① 外接圆 / 外心
（过三顶点，心 $O$ = 三中垂线交点，$OA = OB = OC = R$）
一般三角形：$R = \dfrac{abc}{4S}$（三边乘积除以 $4$ 倍面积）
正弦定理：$2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$
直角三角形：$R = \dfrac{c}{2}$（$c$ = 斜边），外心 = 斜边中点
等边三角形：$R = \dfrac{\sqrt 3}{3} a = \dfrac{a}{\sqrt 3}$
一般三角形：$R = \dfrac{abc}{4S}$（三边乘积除以 $4$ 倍面积）
正弦定理：$2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$
直角三角形：$R = \dfrac{c}{2}$（$c$ = 斜边），外心 = 斜边中点
等边三角形：$R = \dfrac{\sqrt 3}{3} a = \dfrac{a}{\sqrt 3}$
② 内切圆 / 内心
（与三边相切，心 $I$ = 三角平分线交点，$I$ 到三边距离 $= r$）
一般三角形：$r = \dfrac{S}{s}$（$S$ 面积，$s = \dfrac{a+b+c}{2}$ 半周长）
直角三角形：$r = \dfrac{a + b - c}{2}$（两直角边之和减斜边的一半）
等边三角形：$r = \dfrac{\sqrt 3}{6} a$
一般三角形：$r = \dfrac{S}{s}$（$S$ 面积，$s = \dfrac{a+b+c}{2}$ 半周长）
直角三角形：$r = \dfrac{a + b - c}{2}$（两直角边之和减斜边的一半）
等边三角形：$r = \dfrac{\sqrt 3}{6} a$
③ 圆周角定理
（直径与直角的等价转换）
同弧所对圆周角相等
直径所对的圆周角 $= 90°$（重点结论）
反向：三角形一边是其外接圆的直径 $\Leftrightarrow$ 该边对面顶点 $= 90°$（该三角形为直角三角形）
同弧所对圆周角相等
直径所对的圆周角 $= 90°$（重点结论）
反向：三角形一边是其外接圆的直径 $\Leftrightarrow$ 该边对面顶点 $= 90°$（该三角形为直角三角形）
④ 等边三角形 · 四心合一公式集
（边长 $a$）
四心合一：外心 $=$ 内心 $=$ 重心 $=$ 垂心（均于同一点 $O$）
$R = 2r$，$R = \dfrac{\sqrt 3}{3} a$，$r = \dfrac{\sqrt 3}{6} a$
高 $h = \dfrac{\sqrt 3}{2} a$，面积 $S = \dfrac{\sqrt 3}{4} a^2$
欧拉不等式：任意三角形 $R \geq 2r$，等号当且仅当等边
四心合一：外心 $=$ 内心 $=$ 重心 $=$ 垂心（均于同一点 $O$）
$R = 2r$，$R = \dfrac{\sqrt 3}{3} a$，$r = \dfrac{\sqrt 3}{6} a$
高 $h = \dfrac{\sqrt 3}{2} a$，面积 $S = \dfrac{\sqrt 3}{4} a^2$
欧拉不等式：任意三角形 $R \geq 2r$，等号当且仅当等边
⚠️ 易错点排查
⚠️ 外心 / 内心弄反
外心 = 三中垂线交点（到三顶点等距）；内心 = 三角平分线交点（到三边等距）；口诀「外心看顶点、内心看边」
⚠️ 外心位置漏考虑
锐角三角形在内部，直角三角形在斜边中点（边上），钝角三角形在外部；三选一不能假设
⚠️ 一般三角形乱套「$R = c/2$」
$R = c/2$ 只在直角三角形成立；锐角 / 钝角 要用 $R = abc/(4S)$ 或正弦定理
⚠️ 一般三角形乱套「$r = (a+b-c)/2$」
该公式专供直角三角形；一般只能用 $r = S/s$
⚠️ 半周长 $s$ 忘除 2
$s = (a+b+c)/2$，不是 $a+b+c$；代 $r = S/s$ 时出错
⚠️ 正弦定理对应关系弄错
$\dfrac{a}{\sin A}$ 里 $a$ 是角 $A$ 的对边；本边配本角是错的
⚠️ 「直径所对圆周角 $= 90°$」反向忘用
题里出现「某边是外接圆直径」 → 立刻读出对面顶点 $= 90°$（退化为直角三角形）
⚠️ 等边「四心合一」判定反向
只有等边三角形才四心合一；题面提示「四心重合」可以倒推等边
⚠️ $R = 2r$ 仅限等边
一般三角形 $R \geq 2r$（欧拉不等式），取等号当且仅当等边；别随便套
⚠️ 等边 $\sqrt 3$ 系数记错
$R = \dfrac{\sqrt 3}{3} a$、$r = \dfrac{\sqrt 3}{6} a$，不是 $\dfrac{\sqrt 3}{2} a$（高才是 $\dfrac{\sqrt 3}{2} a$）
📋 题型速查表
📋 看到「过三顶点的圆」
外接圆，圆心 = 外心 = 三中垂线交点 (§9.1)
📋 看到「与三边都相切的圆」
内切圆，圆心 = 内心 = 三角平分线交点 (§9.2)
📋 直角三角形 + 求外接圆
勾股求斜边 → $R = \dfrac{c}{2}$；外心 = 斜边中点 (§9.1 / p108)
📋 直角三角形 + 求内切圆
两直角边和减斜边的一半 $r = \dfrac{a+b-c}{2}$ (§9.2 / p055)
📋 一般三角形 + 求外接圆
$R = \dfrac{abc}{4S}$（三边都知）或 $2R = \dfrac{a}{\sin A}$（知一边一对角） (§9.1 / p109)
📋 一般三角形 + 求内切圆
$r = \dfrac{S}{s}$（面积除半周长），唯一的通用公式 (§9.2)
📋 等边三角形 + 圆
四心合一 + $R = 2r$；$R = \dfrac{\sqrt 3}{3} a$，$r = \dfrac{\sqrt 3}{6} a$ (§9.4 / p060)
📋 看到「某边是外接圆直径」
立刻反推对面顶点 $= 90°$（直径所对圆周角 $= 90°$） (§9.3)
📋 看到「直角三角形 + 圆」
秒杀：斜边 = 直径，外心 = 斜边中点 (§9.3 / p103)
📋 题面说「三心重合 / 四心合一」
反推等边三角形 (§9.4 / p060)
📋 $3\text{-}4\text{-}5$ 系 / $6\text{-}8\text{-}10$ / $5\text{-}12\text{-}13$
背斜边 + $R$ + $r$；$6\text{-}8\text{-}10$ 有 $R=5$、$r=2$ (§9.2 / p055 / p108)
9.1外接圆与外心
外接圆：经过三角形三个顶点的圆（过三点作圆 要且仅要 三点不共线，且三角形的外接圆唯一存在）。圆心称为外心（常记 $O$），它到三顶点距离都等于外接圆半径 $R = OA = OB = OC$。
🔑 外心存在性定理（三中垂线共点）
任意三角形的三条边的中垂线交于一点，该点到三顶点距离相等（中垂线性质反复串）。
该点 $=$ 外心 $O$，$O$ 到三顶点的距离 $=$ 外接圆半径 $R$。
证明路线：取 $AB$、$BC$ 的中垂线交于 $O$ → $OA = OB$、$OB = OC$ → $OA = OC$ → $O$ 也在 $CA$ 中垂线上 → 三线共点。（详 p048）
该点 $=$ 外心 $O$，$O$ 到三顶点的距离 $=$ 外接圆半径 $R$。
证明路线：取 $AB$、$BC$ 的中垂线交于 $O$ → $OA = OB$、$OB = OC$ → $OA = OC$ → $O$ 也在 $CA$ 中垂线上 → 三线共点。（详 p048）
📍 外心位置三分法 + 半径公式
外心位置三类：
锐角三角形 → 在三角形内部
直角三角形 → 在斜边中点（详 §9.3）
钝角三角形 → 在三角形外部
外接圆半径公式：
一般三角形：$R = \dfrac{abc}{4S}$
正弦定理：$2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$
直角 → $R = \dfrac{c}{2}$，等边 → $R = \dfrac{\sqrt 3}{3} a$
锐角三角形 → 在三角形内部
直角三角形 → 在斜边中点（详 §9.3）
钝角三角形 → 在三角形外部
外接圆半径公式：
一般三角形：$R = \dfrac{abc}{4S}$
正弦定理：$2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$
直角 → $R = \dfrac{c}{2}$，等边 → $R = \dfrac{\sqrt 3}{3} a$
📌 关联题库
p048 考点1 · 三角形外心证明（三中垂线交点） / p103 直角三角形外接圆 = 斜边为直径 / p108 直角外接圆数值应用（3-4-5 系） / p109 一般三角形 $R = abc/(4S)$ + 正弦定理
9.2内切圆与内心
内切圆：与三角形三边都相切的圆（存在于三角形内部）。圆心称为内心（常记 $I$），它到三边距离相等，均为内切圆半径 $r$。
🔑 内心存在性定理（三角平分线共点）
任意三角形的三条角平分线交于一点，该点到三条边的距离相等（角平分线性质反复串）。
该点 $=$ 内心 $I$，$I$ 到三边的距离 $=$ 内切圆半径 $r$。
证明路线（与外心同构）：任两角平分线交于 $I$ → 到两边等距 → 串全三边 → $I$ 也在第三条角平分线上。
该点 $=$ 内心 $I$，$I$ 到三边的距离 $=$ 内切圆半径 $r$。
证明路线（与外心同构）：任两角平分线交于 $I$ → 到两边等距 → 串全三边 → $I$ 也在第三条角平分线上。
📍 内切圆半径公式（一般 + 直角 + 等边）
① 一般三角形（唯一通用公式）：$r = \dfrac{S}{s}$，其中 $S$ 是面积、$s = \dfrac{a+b+c}{2}$ 为半周长
原理：$S = \dfrac{1}{2} r (a + b + c) = rs$ → $r = \dfrac{S}{s}$
② 直角三角形专属：$r = \dfrac{a + b - c}{2}$（$a$、$b$ 直角边，$c$ 斜边）
原理：从直角顶 $C$ 到两切点的距离 $= r$ → 两斜边切点在斜边上的两段 $= (a-r) + (b-r) = c$ → $r = \dfrac{a+b-c}{2}$
③ 等边三角形专属：$r = \dfrac{\sqrt 3}{6} a$（详 §9.4）
验算套路：直角题里先用 ② 秒杀 → 再用 ① 验算（例 $6\text{-}8\text{-}10$：$r = \dfrac{6+8-10}{2} = 2 = \dfrac{24}{12} = \dfrac{S}{s}$ ✓）
原理：$S = \dfrac{1}{2} r (a + b + c) = rs$ → $r = \dfrac{S}{s}$
② 直角三角形专属：$r = \dfrac{a + b - c}{2}$（$a$、$b$ 直角边，$c$ 斜边）
原理：从直角顶 $C$ 到两切点的距离 $= r$ → 两斜边切点在斜边上的两段 $= (a-r) + (b-r) = c$ → $r = \dfrac{a+b-c}{2}$
③ 等边三角形专属：$r = \dfrac{\sqrt 3}{6} a$（详 §9.4）
验算套路：直角题里先用 ② 秒杀 → 再用 ① 验算（例 $6\text{-}8\text{-}10$：$r = \dfrac{6+8-10}{2} = 2 = \dfrac{24}{12} = \dfrac{S}{s}$ ✓）
📌 关联题库
p055 考点2 · 直角三角形内切圆（$r = (a+b-c)/2$） + 外接圆数值应用 / p109 一般三角形 $r = S/s$ 递推路径
9.3圆周角定理（直角三角形外接圆）
圆周角定理中最常考的一个特例是「直径所对的圆周角 $= 90°$」 — 它把「直角三角形」与「外接圆」双向打通，是中考填选题秒杀利器。
⚡ 圆周角三条核心结论
① 同弧所对的圆周角相等（同弧 / 等弧都适用）
② 直径所对的圆周角 $= 90°$（重点！）
③ 反向结论：若三角形某一边是其外接圆的直径→ 该边对面顶点 $= 90°$ → 该三角形是直角三角形（且该直角顶对面的边 = 斜边 = 直径）
推论：直角三角形的外心 $=$ 斜边中点 $M$；外接圆半径 $R = \dfrac{1}{2} c$（$c$ = 斜边）
证明要点（详 p103）：斜边中点 $M$ 使 $MA = MB = MC = \dfrac{1}{2} AB$（直角三角形斜边中线性质），三顶点到 $M$ 等距 → $M$ 是外心。
② 直径所对的圆周角 $= 90°$（重点！）
③ 反向结论：若三角形某一边是其外接圆的直径→ 该边对面顶点 $= 90°$ → 该三角形是直角三角形（且该直角顶对面的边 = 斜边 = 直径）
推论：直角三角形的外心 $=$ 斜边中点 $M$；外接圆半径 $R = \dfrac{1}{2} c$（$c$ = 斜边）
证明要点（详 p103）：斜边中点 $M$ 使 $MA = MB = MC = \dfrac{1}{2} AB$（直角三角形斜边中线性质），三顶点到 $M$ 等距 → $M$ 是外心。
📌 关联题库
p103 考点1-2 · 直角三角形外接圆 = 斜边为直径，外心 = 斜边中点 / p108 数值应用（6-8-10 勾股 + $R = c/2$ + $S = \pi R^2$）
9.4等边三角形（四心合一）
等边三角形是所有三角形里「最对称」的一类 — 它享有四心合一（外心 $=$ 内心 $=$ 重心 $=$ 垂心）的独享特权，$R = 2r$、并以 $\sqrt 3$ 系数公式表达所有量。
🔑 四心合一 + $R = 2r$
设边长 $a$ 的等边 $\triangle ABC$：
① 四心合一：外心 $=$ 内心 $=$ 重心 $=$ 垂心 $=$ 同一点 $O$
原理：三边上过顶点的「中线 / 高 / 角平分线 / 中垂线」四合一，三条「四合一线」交于同一点 → 四心重合。（详 p060(1)）
② $R = 2r$（即 $R : r = 2 : 1$）：$O$ 既是外心又是内心 → $OA = R$、$OD = r$（$D$ 为 $BC$ 中点）；$O$ 又是重心 → $AO : OD = 2 : 1$ → $R = 2r$。（详 p060(2)）
③ 欧拉不等式：任意三角形 $R \geq 2r$，等号当且仅当等边。所以等边是「圆比最小」的极限情形。
① 四心合一：外心 $=$ 内心 $=$ 重心 $=$ 垂心 $=$ 同一点 $O$
原理：三边上过顶点的「中线 / 高 / 角平分线 / 中垂线」四合一，三条「四合一线」交于同一点 → 四心重合。（详 p060(1)）
② $R = 2r$（即 $R : r = 2 : 1$）：$O$ 既是外心又是内心 → $OA = R$、$OD = r$（$D$ 为 $BC$ 中点）；$O$ 又是重心 → $AO : OD = 2 : 1$ → $R = 2r$。（详 p060(2)）
③ 欧拉不等式：任意三角形 $R \geq 2r$，等号当且仅当等边。所以等边是「圆比最小」的极限情形。
📍 等边三角形 · 必背公式集（边长 $a$）
高 $h = \dfrac{\sqrt 3}{2} a$（从顶点到对边）
面积 $S = \dfrac{\sqrt 3}{4} a^2$
外接圆半径 $R = \dfrac{\sqrt 3}{3} a = \dfrac{a}{\sqrt 3} = \dfrac{2}{3} h$
内切圆半径 $r = \dfrac{\sqrt 3}{6} a = \dfrac{a}{2\sqrt 3} = \dfrac{1}{3} h$
圆比：$R : r = 2 : 1$（$R = 2r$）
反向应用：已知 $R$ 反求 $a$ → $a = \sqrt 3 R$；已知 $r$ 反求 $a$ → $a = 2\sqrt 3 r$。
面积 $S = \dfrac{\sqrt 3}{4} a^2$
外接圆半径 $R = \dfrac{\sqrt 3}{3} a = \dfrac{a}{\sqrt 3} = \dfrac{2}{3} h$
内切圆半径 $r = \dfrac{\sqrt 3}{6} a = \dfrac{a}{2\sqrt 3} = \dfrac{1}{3} h$
圆比：$R : r = 2 : 1$（$R = 2r$）
反向应用：已知 $R$ 反求 $a$ → $a = \sqrt 3 R$；已知 $r$ 反求 $a$ → $a = 2\sqrt 3 r$。
📌 关联题库
p060 等边三角形 · 四心合一 + $R = 2r$（三问：证四心合一 / 证 $R = 2r$ / 具体计算） — 本节唯一的等边 + 圆专题题
🔑 第9章核心心法
三角形 + 圆 = 「三中垂线 / 三角平分线」的共点性。看到 「过三顶点的圆」 → 外接圆 + 外心 + 中垂线；看到 「与三边都相切的圆」 → 内切圆 + 内心 + 角平分线。
合并「一般 → 直角 → 等边」三层简化路线：一般用「$R = abc/(4S)$ + $r = S/s$」通式；直角用「$R = c/2$（斜边中点） + $r = (a+b-c)/2$」秒杀；等边用「四心合一 + $R = 2r$ + $\sqrt 3$ 系数公式」一句话拿下。口诀：「外心看顶点，内心看边；直角看斜边，等边背 $\sqrt 3$」。
对应题库：题库「三角形与圆」章 6 道题（p048 / p103 / p108 / p055 / p109 / p060）全覆盖本章理论。