🏃 动点 · 几何运动学
动点题是中考压轴的「终极 boss」 —— 表面上图形在动,本质上是「设一个参数 t,把所有动态信息固定下来」。掌握这一章,压轴题不再可怕。
🏃 动点 · 中考压轴的核心工具
动点题是函数、几何、运动学的综合应用。先掌握「设参数 4 步法」,然后练「单动点直线 / 抛物线 / 双动点」3 种典型场景。
动点知识掌握后,可挑战 坐标系三角形 和 旋转模型(三角形主手册第 7 / 8 章)。
动动点问题 · 中考压轴核心
动点题是中考几何压轴的「终极工具」—— 表面上图形在动,本质上是用一个参数 t 把所有动态信息固定下来。一旦设好参数,题目就变回纯代数。这一章把动点设法、典型场景、综合套路系统讲清。
📐 必备公式
🔵 1 · 动点设法(万能套路)
用 1 个参数 $t$ 表达所有动态:
• 数轴上 $P$:用数 $t$
• $x$ 轴上 $P(t, 0)$
• 直线上 $P(t, kt+b)$
• 抛物线上 $P(t, at^2+bt+c)$
• 按时间运动:位移 $= vt$
两点距离:$|AB| = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$
距离平方:$|PA|^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ → 避开根号,平方直接用
• 数轴上 $P$:用数 $t$
• $x$ 轴上 $P(t, 0)$
• 直线上 $P(t, kt+b)$
• 抛物线上 $P(t, at^2+bt+c)$
• 按时间运动:位移 $= vt$
两点距离:$|AB| = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$
距离平方:$|PA|^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ → 避开根号,平方直接用
🟢 2 · 面积 + 二次函数最值
铅垂高 + 水平宽(抛物线神器):
$S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \times $ 铅垂高 $\times $ 水平宽
二次函数顶点公式:
$f(t) = at^2+bt+c$
顶点 $t = -\dfrac{b}{2a}$
$f_{\min/\max} = \dfrac{4ac-b^2}{4a}$
面积比 = 相似比²:相似比 $k$ → 面积比 $k^2$
$S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \times $ 铅垂高 $\times $ 水平宽
二次函数顶点公式:
$f(t) = at^2+bt+c$
顶点 $t = -\dfrac{b}{2a}$
$f_{\min/\max} = \dfrac{4ac-b^2}{4a}$
面积比 = 相似比²:相似比 $k$ → 面积比 $k^2$
🟠 3 · 等腰存在性(3 类轨迹)
找 $P$ 使 $\triangle PAB$ 等腰 → 3 类:
① $PA=PB$
→ $P$ 在 $AB$ 中垂线上
② $PA=AB$
→ $P$ 在 以 $A$ 为心、$AB$ 为径的圆上
③ $PB=AB$
→ $P$ 在 以 $B$ 为心、$AB$ 为径的圆上
每类列方程 → 联立曲线 → 排除退化
① $PA=PB$
→ $P$ 在 $AB$ 中垂线上
② $PA=AB$
→ $P$ 在 以 $A$ 为心、$AB$ 为径的圆上
③ $PB=AB$
→ $P$ 在 以 $B$ 为心、$AB$ 为径的圆上
每类列方程 → 联立曲线 → 排除退化
🔴 4 · 直角存在性(3 类轨迹)
找 $P$ 使 $\triangle PAB$ 直角 → 3 类:
① $\angle PAB=90°$
→ $P$ 在 过 $A$ 垂直 $AB$ 的直线上
② $\angle PBA=90°$
→ $P$ 在 过 $B$ 垂直 $AB$ 的直线上
③ $\angle APB=90°$
→ $P$ 在 以 $AB$ 为直径的圆上($A,B$ 除外)
圆周角定理:直径所对圆周角 = 90°
① $\angle PAB=90°$
→ $P$ 在 过 $A$ 垂直 $AB$ 的直线上
② $\angle PBA=90°$
→ $P$ 在 过 $B$ 垂直 $AB$ 的直线上
③ $\angle APB=90°$
→ $P$ 在 以 $AB$ 为直径的圆上($A,B$ 除外)
圆周角定理:直径所对圆周角 = 90°
🟣 5 · 最短路径 + 对称
将军饮马(动点在直线 $l$ 上):
• $A$ 关于 $l$ 对称得 $A'$
• $PA+PB$ 最小 $= |A'B|$
• $P$ 在 $A'B$ 与 $l$ 交点
抛物线对称轴:$x = -\dfrac{b}{2a}$
对称轴上的点 → 到对称两点距离相等(自带等腰)
角内一点:对两边各作一次对称 → 走最短
• $A$ 关于 $l$ 对称得 $A'$
• $PA+PB$ 最小 $= |A'B|$
• $P$ 在 $A'B$ 与 $l$ 交点
抛物线对称轴:$x = -\dfrac{b}{2a}$
对称轴上的点 → 到对称两点距离相等(自带等腰)
角内一点:对两边各作一次对称 → 走最短
🩷 6 · 圆上动点最值
动点 $P$ 在圆($O$, $r$)上 + 定点 $A$:
$|PA| \in [\,|AO|-r,\, |AO|+r\,]$
极值在三点共线时取到:
• 最大: $O$ 在 $A$ 和 $P$ 之间
• 最小: $P$ 在 $A$ 和 $O$ 之间
$A$ 在圆内时:$|PA|$ 范围 $[r-|AO|,\, r+|AO|]$
$|PA| \in [\,|AO|-r,\, |AO|+r\,]$
极值在三点共线时取到:
• 最大: $O$ 在 $A$ 和 $P$ 之间
• 最小: $P$ 在 $A$ 和 $O$ 之间
$A$ 在圆内时:$|PA|$ 范围 $[r-|AO|,\, r+|AO|]$
⚠️ 易错点排查
📘 动点专题 · 易错点排查
$t$ 范围漏写 — 动点在线段 / 抛物线上限 / 数轴指定区间，必须先写 $t$ 的范围；解完忘验范围 → 多解或错解
动点跟已知点重合（退化） — $P$ 跟 $A$ 或 $B$ 重合时三角形退化为线段，求面积 / 等腰 / 直角时必须排除
抛物线限第一象限漏 — 题面"在第一象限部分"→ $t > 0$ 且 $y > 0$；漏一个条件多解
等腰只列 1 类 — 等腰存在性有 3 类($PA=PB$ / $PA=AB$ / $PB=AB$)，少一类就丢 1/3 分
直角只列 1 类 — 直角存在性有 3 类($\angle A$ / $\angle B$ / $\angle P$ 为直角)，少一类就丢分
铅垂高 ≠ 普通距离 — 抛物线面积题中铅垂高指过 $P$ 作竖直线交底边得到的纵向线段长，不是点到直线距离
相似对应关系穷尽不全 — $\triangle PAB \sim \triangle CDE$ 时对应方式有 2 种($P\leftrightarrow C$ 或 $P\leftrightarrow$ 其他)，常漏一种
数轴动点分段讨论漏段 — $P$ 在 $A$ 左 / $AB$ 间 / $B$ 右 三段情况绝对值符号不同，每段必须分别讨论
双动点 $t$ 范围漏取交集 — $P$ 走完 $AB$ 用时 $t_1$，$Q$ 走完 $CD$ 用时 $t_2$，共同有效区间 $t \in [0, \min(t_1, t_2)]$
时间参数题忘了运动方向 — "$P$ 从 $A$ 向 $B$ 运动"和"$P$ 从 $B$ 向 $A$ 运动"位移符号相反；到端点后是否反弹要看题面
对称求最小忘了"折线 → 直线" — 将军饮马必须把动点另一侧的固定点对称过去，对称的是固定点不是动点
圆上动点最值方向错 — 圆外点到圆上动点最远 $= |AO|+r$，最近 $= ||AO|-r|$；记成只用 $|AO|$ 就崩
📋 题型速查表
📋 看到什么用什么
数轴上 $P$ 表示数 $t$，求 $|PA|+|PB|$ 最小 → $P$ 在 $AB$ 之间任意位置最小 $= |AB|$ (动点 2)
数轴动点 $P$ 求 $|PA|^2+|PB|^2$ 最小 → 关于 $t$ 二次函数，顶点 $t = \dfrac{x_A+x_B}{2}$($AB$ 中点) (动点 2)
数轴含绝对值方程 $|t-a|+|t-b|=k$ → 分 $tb$ 三段讨论 (动点 2)
线段 $AB$ 上找 $P$ 使 $\triangle PCD$ 等腰 → 3 类轨迹（中垂线 / 圆 $C$ / 圆 $D$)与线段 $AB$ 求交，验 $t \in [0,|AB|]$ (动点 3)
$x$ 轴上 $P$ 使 $S_{\triangle PAB}=S_{\triangle PCD}$（面积和 / 面积比) → 3 类位置（$P$ 在线段外左 / 内 / 外右）分段讨论 (动点 4)
直线上找 $P$ 使 $PA+PB$ 最小 → 将军饮马：$A$ 关于直线对称得 $A'$，$P$ 在 $A'B$ 与直线交点 (动点 4)
直线上找 $P$ 使 $\triangle PAB$ 等腰 / 直角 → 3 类轨迹与直线求交 (动点 4)
抛物线 + 三角形面积最大 → 设 $P(t, at^2+bt+c)$ → 铅垂高法表 $S(t)$ → 二次函数求顶点 (动点 5)
抛物线上 $P$ 使 $\triangle PAB$ 为特殊三角形（等腰 / 直角) → 距离公式列方程 → 解四次方程（设 $u=t^2$ 化二次) (动点 5)
双动点 $P$、$Q$ + 时间参数 $t$ → 用 $v_1 t$、$v_2 t$ 同时表 $P$、$Q$ 坐标 → 距离 / 平行 / 相似 列方程 (动点 6)
角内一点求 $PA+PB$ 最小（$A$、$B$ 分别在角两边) → 双将军饮马：$A$ 关于一边对称、$B$ 关于另一边对称 (动点 4 拓展)
圆上动点 $P$ + 圆外定点 $A$ 求 $|PA|$ 极值 → 三点共线（$A$、$O$、$P$）：最大 $=|AO|+r$，最小 $=||AO|-r|$ (动点 4 / 5 圆轨迹)
动点 1动点问题的本质与套路
这一节是动点题的“总纲”——只讲背后的思维和参数设法，具体题型（数轴、线段、直线、抛物线、双动点）放后面动点 2–6 分则展开。动点题看上去“图形在动”，本质是“用一个参数 $t$ 把所有动态信息固定下来”。一旦设好参数，题目就变回纯代数。
⚡ 动点题万能 4 步法
第1步:设参数 —— 用 1 个未知数 $t$ 表示动点(横坐标/移动距离/时间)
第2步:表达式 —— 用 $t$ 表示动点坐标、相关线段长、相关角度
第3步:列方程 —— 根据题目条件(等腰/直角/相似/面积/周长等)写出关于 $t$ 的方程
第4步:解方程并验证 —— 求出 $t$,代回得动点位置;验证每个解是否符合条件(常需排除退化情况)
第2步:表达式 —— 用 $t$ 表示动点坐标、相关线段长、相关角度
第3步:列方程 —— 根据题目条件(等腰/直角/相似/面积/周长等)写出关于 $t$ 的方程
第4步:解方程并验证 —— 求出 $t$,代回得动点位置;验证每个解是否符合条件(常需排除退化情况)
📋 参数 $t$ 的常见含义
动点在 $x$ 轴上:$P(t, 0)$,$t$ 是横坐标
动点在线段上:$P$ 距某端点 $t$ 单位
动点在直线上:$P(t, kt+b)$
动点在抛物线上:$P(t, at^2+bt+c)$
动点按速度运动:$t$ 是时间,位移 = 速度 × $t$
动点 2单动点在数轴上(一维基础)
数轴是一维直线 — 只有横坐标。这是动点题的最基础形式:点 $P$ 表示的数就是参数 $t$,所有距离、中点、绝对值都直接用 $t$ 表达。
⚡ 数轴动点 3 件套
$A$ 表示数 $x_A$,$B$ 表示数 $x_B$,$P$ 表示数 $t$:
① 两点距离:$|PA| = |t - x_A|$
② 中点:$M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$
③ 绝对值方程:$|t - a| = k$ → $t = a \pm k$(两个解,对称)
① 两点距离:$|PA| = |t - x_A|$
② 中点:$M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$
③ 绝对值方程:$|t - a| = k$ → $t = a \pm k$(两个解,对称)
📋 数轴动点 4 大题型
距离相等求 $t$：$|PA| = |PB|$ → $P$ 是 $AB$ 中点，$t = \dfrac{x_A+x_B}{2}$。
距离 = $k$ 求 $t$：$|PA| = k$ → $t = x_A \pm k$，两个对称解不能漏。
距离之和最小：$|PA| + |PB|$ 最小 $= |AB|$（$P$ 在 $A$、$B$ 之间任意位置取到）。
距离平方和最小：$|PA|^2 + |PB|^2$ 是关于 $t$ 的二次函数，顶点 $t = \dfrac{x_A+x_B}{2}$（$AB$ 中点）。
含 $|t-a|+|t-b|$ 的方程：必须分 $tb$ 三段 讨论，去掉绝对值符号后算。
陷阱：绝对值方程容易漏一个解（只算正不算负）；分段讨论后记得验证 $t$ 是否在该段区间内。
动点 3单动点在线段上(数轴的二维扩展)
线段是有界的直线段 — $P$ 沿 $AB$ 移动,$AP \in [0, |AB|]$。比数轴多一个「范围限制」,所以解出 $t$ 后一定要检查范围。
⚡ 线段动点设法
线段 $AB$ 上的动点 $P$:
① 设 $AP = t$(从 $A$ 走的距离),$t \in [0, |AB|]$。
② $AB$ 在 $x$ 轴上时:$P(t, 0)$,$0 \leq t \leq |AB|$(简单情况)。
③ $AB$ 不在轴上时:用线性插值 $P = A + \dfrac{t}{|AB|} \cdot (B - A)$。
① 设 $AP = t$(从 $A$ 走的距离),$t \in [0, |AB|]$。
② $AB$ 在 $x$ 轴上时:$P(t, 0)$,$0 \leq t \leq |AB|$(简单情况)。
③ $AB$ 不在轴上时:用线性插值 $P = A + \dfrac{t}{|AB|} \cdot (B - A)$。
📋 线段动点解题套路
第 1 步 设参：用 $AP = t$ 表示 $P$ 的位置，写清$t \in [0, |AB|]$ 范围。
第 2 步 表达：把几何条件（面积、距离、相似比）写成关于 $t$ 的表达式。
第 3 步 列方程：列出方程或使用二次函数求最值。
第 4 步 验范围：检查 $t$ 是否在 $[0, |AB|]$ 范围内，超出就舍去；与端点重合（退化）也要判断是否舍。
线段动点找等腰 3 类：同「动点 4 直线」的 3 类轨迹，但额外验 $t \in [0, |AB|]$ 才能保留解。
动点 4单动点在直线上（含坐标轴）
动点 $P$ 在固定直线（含 $x$轴 / $y$ 轴）上移动，是中考动点题的入门型态：$P$ 坐标只用 1 个参数 $t$（若直线为 $y=kx+b$，则 $P(t,\,kt+b)$）。本节重点：面积最值、周长最小（将军饮马）、等腰 3 类、直角 3 类。
📋 典型问法
求 $P$ 使面积最大/最小 → 把面积写成关于 $t$ 的二次函数,求顶点
求 $P$ 使周长最小 → 用将军饮马,作对称点
求 $P$ 使 $\triangle PAB$ 等腰 → 3 类情况分别列方程
求 $P$ 使 $\triangle PAB$ 直角 → 3 类情况分别用斜率或勾股
求 $P$ 使 $\triangle PAB \sim$ 已知三角形 → 对应关系分类
分类讨论
等腰存在性的 3 种轨迹
分类讨论
直角存在性的 3 种轨迹
🔑 分类讨论的"轨迹思维"
动点存在性题(等腰/直角)的核心思维:"P 的轨迹是什么图形?" 等腰 → 中垂线 + 两个圆;直角 → 两条垂线 + 一个圆。再把"动点所在的直线"和这些轨迹求交,就是 P 的可能位置。
这种思维比纯代数列方程更可靠——不会漏解。
动点 5单动点在抛物线上（中考主战场）
抛物线动点是中考压轴的主战场，难度比直线上上一个量级：距离公式会出现 $t^2$，平方后可能变成 4 次方程。两大招牌：面积题用铅垂高法（转二次函数顶点），特殊三角形题用距离公式 + 分类讨论（设 $u=t^2$ 化二次）。
⚡ 抛物线上动点关键技巧
抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 上动点 $P(t, at^2+bt+c)$。
$P$ 到 $x$ 轴的距离 = $|at^2+bt+c|$
$P$ 到 $y$ 轴的距离 = $|t|$
$P$ 到对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$ 的距离 = $|t-(-\frac{b}{2a})|$
$P$ 到 $x$ 轴的距离 = $|at^2+bt+c|$
$P$ 到 $y$ 轴的距离 = $|t|$
$P$ 到对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$ 的距离 = $|t-(-\frac{b}{2a})|$
📋 抛物线动点常用结论
抛物线对称轴上的点到 A、B 距离相等(如果 A、B 关于对称轴对称)→ 天然产生等腰
面积二次函数化:用铅垂法表达 $S(t)$,通常是关于 $t$ 的二次函数,求顶点得最值
等腰条件常出现 $t^4$ 项:平方两次后,化简为对 $t^2$ 二次方程
对称轴上的点是"特殊位置"——常是答案的一个候选
动点 6双动点问题
两个点 $P$、$Q$ 同时移动，通常用时间 $t$ 作唯一参数，两点位置都由 $t$ 决定：$AP = v_1 t$，$CQ = v_2 t$。难度上升主要在范围取交集（$t \in [0, \min(t_1, t_2)]$）与运动方向 / 是否反弹，套路本身不变。
⚡ 双动点的标准设法
$P$ 在线段 $AB$ 上从 $A$ 出发,速度 $v_1 = 2$ → 时间 $t$ 时位置 $AP = 2t$
$Q$ 在线段 $CD$ 上从 $C$ 出发,速度 $v_2 = 3$ → 时间 $t$ 时位置 $CQ = 3t$
① 用 $t$ 表示 $P$、$Q$ 坐标
② 根据题目条件列关于 $t$ 的方程
$Q$ 在线段 $CD$ 上从 $C$ 出发,速度 $v_2 = 3$ → 时间 $t$ 时位置 $CQ = 3t$
① 用 $t$ 表示 $P$、$Q$ 坐标
② 根据题目条件列关于 $t$ 的方程
📋 双动点常见考点
什么时候 $PQ \parallel AB$:用斜率相等列方程
什么时候 $\triangle PCQ$ 是等腰/直角:分类讨论后列方程
什么时候 $\triangle APQ \sim \triangle$某固定三角形:用相似比列方程
$PQ$ 长的最值:把 $PQ^2$ 写成 $t$ 的二次函数
分段讨论:动点可能"到端点反弹"或"分段运动",每段的表达式不同,要分别讨论